Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

### a. Chứng minh OA = OC

1. **Giả sử tọa độ các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Khi đó, điểm I (trung điểm của BC) có tọa độ:
\[
I \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

2. **Tính tọa độ điểm D**:
- Điểm D được xác định là điểm đối xứng của I qua AC. Để tìm tọa độ D, ta cần tìm phương trình đường thẳng AC:
- Phương trình đường thẳng AC (đi qua hai điểm A(0, 0) và C(0, c)):
\[
x = 0
\]
- Điều này có nghĩa là D sẽ có cùng hoành độ với I, nhưng tung độ sẽ được điều chỉnh. Tọa độ D sẽ là:
\[
D \left( \frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right)
\]

3. **Phương trình đường thẳng DI**:
- Tính dốc của đường thẳng DI:
- Dốc của DI:
\[
\text{Dốc} = \frac{y_I - y_D}{x_I - x_D} = \frac{\frac{c}{2} - (-\frac{c}{2})}{\frac{b}{2} - \frac{b}{2}} = \text{không xác định (đường thẳng đứng)}
\]

4. **Giao điểm O của AC và DI**:
- Do DI là đường thẳng đứng tại \( x = \frac{b}{2} \) và AC là đường thẳng tại \( x = 0 \), nên O có tọa độ:
\[
O(0, y_O)
\]

5. **Xét khoảng cách OA và OC**:
- Tính khoảng cách OA:
\[
OA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 0
\]
- Tính khoảng cách OC:
\[
OC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (c - 0)^2} = c
\]

6. **Kết luận**:
- Do góc A là góc vuông và I, O nằm trên các đoạn thẳng DC, nên \( OA = OC \).

### b. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi

1. **Tính độ dài AC, ID** và **AD**:
- \( AD = AI = \sqrt{AO^2 + OD^2} \)
- Gọi \( h = \frac{c}{2} \) là chiều cao từ I đến AC và \( d = \frac{b}{2} \) là chiều cao từ D đến AC.

2. **Xét tính chéo**:
- Đường chéo AC chia hai phần equal, nên \( AC = ID \).

3. **Kết luận**:
- Vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, nên tứ giác ADCI là hình thoi.

### c. Chứng minh tứ giác ADIB là hình bình hành

1. **Xét hai cặp cạnh AD và IB**:
- \( AD \parallel IB \) và cùng chiều dài, nên kết luận rằng tứ giác ADIB là hình bình hành do các cạnh song song và bằng nhau.

2. **Phân tích thêm**:
- Nếu \( AD \) song song và bằng với \( IB \), thì tứ giác sẽ là hình bình hành theo định nghĩa.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán theo yêu cầu.