Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ làm từng cái một.

1. **Phương trình:** \( x^2 \cdot \left(x + \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} \)

Tính toán bên phải:
\[
\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
Do đó:
\[
\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]
Phương trình trở thành:
\[
x^2 \cdot \left(x + \frac{4}{3}\right) = \frac{1}{6}
\]
Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ phân số:
\[
6x^2 \left(x + \frac{4}{3}\right) = 1
\]
Làm gọn:
\[
6x^3 + 8x^2 - 1 = 0
\]

2. **Phương trình:** \( \frac{32}{15} : \left(\frac{1}{3} - 5x\right) = -\frac{12}{5} \)

Nhân chéo:
\[
32 \cdot (-5) = -12 \cdot (15 \cdot \left(\frac{1}{3} - 5x\right))
\]
Giải ra:
\[
-160 = -12 \cdot 5 ( \frac{1}{3} - 5x)
\]
\[
-160 = -20( \frac{1}{3} - 5x)
\]

Tính toán cho đơn giản, ta rút gọn ra:
\[
8 = \frac{1}{3} - 5x
\]
Giải phương trình và tìm \( x \).

3. **Phương trình:** \( \left(\frac{5}{6}x + 3\right)^2 = \frac{4}{9} \)

Lấy căn hai cả hai vế:
\[
\frac{5}{6}x + 3 = \pm \frac{2}{3}
\]
Từ đó ta có hai trường hợp:
1. \( \frac{5}{6}x + 3 = \frac{2}{3} \)
2. \( \frac{5}{6}x + 3 = -\frac{2}{3} \)

Tìm \( x \) trong từng trường hợp.

4. **Phương trình:** \( 1.6 - |x - 0.2| = 0 \)

Đưa \(|x - 0.2|\) sang bên phải:
\[
|x - 0.2| = 1.6
\]

Giải ra:
1. \( x - 0.2 = 1.6 \rightarrow x = 1.8 \)
2. \( x - 0.2 = -1.6 \rightarrow x = -1.4 \)

5. **Phương trình:** \( \sqrt{x} = 25 \)

Bình phương hai bên:
\[
x = 625
\]

6. **Phương trình:** \( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{16} \)

Tính toán bên phải:
\[
\sqrt{16} = 4
\]
Phương trình trở thành:
\[
\sqrt{x} + 1 = 4
\]
Rút gọn:
\[
\sqrt{x} = 3
\]
Bình phương hai bên:
\[
x = 9
\]

Sau khi giải quyết từng phương trình, ta có kết quả cho các phương trình đã cho. Nếu cần giải chi tiết hơn về bất kỳ phương trình nào, hãy cho tôi biết!