Khi m = - 1 thị hàm số đồng biển trên khoảng (- ∞; ∞)

Hàm số \( f(x) = 2x^3 + 2(m+1)x^2 + 6x + 4 + 2m \) là một đa thức bậc 3.

a) Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \), đạo hàm \( f'(x) \) phải không âm với mọi \( x \). Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 6x^2 + 2(m+1)x + 6
\]

Để hàm số đồng biến trên toàn bộ khoảng, phương trình bậc 2 này cần phải không có nghiệm thực, tức là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac < 0
\]

Với \( a = 6, b = 2(m+1), c = 6 \):

\[
\Delta = (2(m+1))^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 < 0
\]
\[
4(m+1)^2 - 144 < 0
\]
\[
(m+1)^2 < 36
\]

Khi đó, ta có:

\[
-6 < m+1 < 6 \implies -7 < m < 5
\]

b) Khi \( m = 1 \):

\[
f'(x) = 6x^2 + 4x + 6
\]

Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 16 - 144 = -128 < 0
\]

Vậy hàm số không có cực trị.

c) Để hàm số có 3 giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên \( (-\infty; +\infty) \):

Từ kết quả trước, ta có khoảng:

\[
-7 < m < 5
\]

Các giá trị nguyên dương trong khoảng này là: 0, 1, 2, 3, 4.

d) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \):

Cần tính \( f'(2) \) và đảm bảo \( f'(2) = 0 \):

\[
f'(2) = 6(2^2) + 2(m+1)(2) + 6 = 0
\]
\[
24 + 4(m+1) + 6 = 0
\]
\[
4(m+1) = -30 \implies m + 1 = -7.5 \implies m = -8.5
\]

Vậy \( m \in (2; 5) \) thoả mãn \( m = -8.5 \) không thuộc khoảng này.

Kết quả đầy đủ cho từng câu như trên.