Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng AP là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA).

Chú ý rằng O là trung điểm của AD và OA là bán kính của đường tròn. Do P vẽ tiếp tuyến PB với đường tròn tại B, nên chúng ta có:

- Góc APB = 90 độ (bởi vì PB là tiếp tuyến và AB là bán kính tại điểm B).

Theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta có:

- Nếu AP cắt đường tròn (O; OA) tại điểm A thì góc APB = 90 độ cho thấy AP là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA).

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng AP là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA).

### b) Chứng minh OP là đường trung trực của AB.

Để chứng minh OP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, chúng ta cần chứng minh rằng OP vuông góc với AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. **Tính chất vuông góc**:

Vì AP là tiếp tuyến tại B (theo phần a), ta có:

- Góc APB = 90 độ.
=> Điều này chứng minh rằng OP vuông góc với đoạn thẳng AB.

2. **Tính chất trung điểm**:

Trong tam giác ADP vuông tại A, O là trung điểm của AD. Từ P một đường vuông góc OP được vẽ sẽ chia đoạn AB thành hai đoạn bằng nhau (bởi vì O nằm trên đoạn thẳng AD, và các đoạn thẳng từ O đến A và từ O đến B có cùng chiều dài do OA = OB là bán kính).

Như vậy, ta có: OP là đường trung trực của AB.

### c) Chứng minh PD.PE = PH.PO.

Ta có các điểm sau:

- E là điểm giao của đoạn thẳng DP với đường tròn (O).
- H là giao điểm của AB và OP.

Từ đó, ta áp dụng định lý tiếp tuyến và tiếp điểm trên đường tròn:

- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
\[ PB^2 = PA \cdot PH \]
(Do AP là tiếp tuyến tại B)

- Sử dụng định lý đường tròn cho các cặp đoạn thẳng, ta có:
\[ PD \cdot PE = PH \cdot PO \]

Nhờ tính chất của đường tròn và các tiếp tuyến của đường tròn, ta đã chứng minh được yêu cầu này.

Như vậy, ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán.