Một quả bóng được cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là một parabol. Biết rằng ban đầu quả bóng được sút lên với độ cao 0,4 m, sau đó 1 giây quả bóng đạt độ cao \( \frac{12}{25} \) m và sau 3,5 giây quả bóng đạt độ cao \( \frac{33}{100} \) m. Tìm độ cao mà quả bóng đạt được sau 1,6 giây từ khi sút bóng

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình quỹ đạo rơi của quả bóng theo dạng parabol. Giả sử độ cao của quả bóng \( h(t) \) theo thời gian \( t \) được mô tả bằng một phương trình bậc hai:

\[
h(t) = a t^2 + b t + c
\]

Trong đó:
- \( h(0) = 0.4 \) (điểm xuất phát)
- \( h(1) = \frac{12}{25} \) (độ cao sau 1 giây)
- \( h(3.5) = \frac{33}{100} \) (độ cao sau 3.5 giây)

Từ \( h(0) = c = 0.4 \), ta có phương trình:

\[
h(t) = a t^2 + b t + 0.4
\]

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng hai điểm còn lại để lập hệ phương trình:

1. Khi \( t = 1 \):

\[
h(1) = a(1)^2 + b(1) + 0.4 = \frac{12}{25}
\]

Điều này dẫn đến:

\[
a + b + 0.4 = \frac{12}{25} \implies a + b = \frac{12}{25} - 0.4 = \frac{12}{25} - \frac{10}{25} = \frac{2}{25} \quad (1)
\]

2. Khi \( t = 3.5 \):

\[
h(3.5) = a(3.5)^2 + b(3.5) + 0.4 = \frac{33}{100}
\]

Tính \( (3.5)^2 = 12.25 \):

\[
12.25a + 3.5b + 0.4 = \frac{33}{100}
\]

Chuyển đổi \( 0.4 \) thành phần trăm:

\[
12.25a + 3.5b + \frac{40}{100} = \frac{33}{100} \implies 12.25a + 3.5b = \frac{33}{100} - \frac{40}{100} = -\frac{7}{100} \quad (2)
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình (1) và (2):

1. \( a + b = \frac{2}{25} \)
2. \( 12.25a + 3.5b = -\frac{7}{100} \)

Giải hệ phương trình này:

Từ (1), ta có \( b = \frac{2}{25} - a \).

Thay vào (2):

\[
12.25a + 3.5\left(\frac{2}{25} - a\right) = -\frac{7}{100}
\]
\[
12.25a + \frac{7}{25} - 3.5a = -\frac{7}{100}
\]
\[
(12.25 - 3.5)a + \frac{7}{25} = -\frac{7}{100}
\]
\[
8.75a = -\frac{7}{100} - \frac{7}{25}
\]

Chuyển đổi \( \frac{7}{25} = \frac{28}{100} \):

\[
8.75a = -\frac{7}{100} - \frac{28}{100} = -\frac{35}{100} = -\frac{7}{20}
\]
\[
a = -\frac{7}{20} \div 8.75 = -\frac{7}{20} \cdot \frac{4}{35} = -\frac{28}{700} = -\frac{1}{25}
\]

Thay \( a = -\frac{1}{25} \) vào (1) để tìm \( b \):

\[
-\frac{1}{25} + b = \frac{2}{25} \implies b = \frac{3}{25}
\]

Vậy phương trình quỹ đạo độ cao của quả bóng là:

\[
h(t) = -\frac{1}{25}t^2 + \frac{3}{25}t + 0.4
\]

Giờ ta sẽ tính độ cao của quả bóng sau \( t = 1.6 \) giây:

\[
h(1.6) = -\frac{1}{25}(1.6)^2 + \frac{3}{25}(1.6) + 0.4
\]
\[
= -\frac{1}{25}(2.56) + \frac{3}{25}(1.6) + 0.4
\]
\[
= -\frac{2.56}{25} + \frac{4.8}{25} + \frac{10}{25}
\]
\[
= \frac{-2.56 + 4.8 + 10}{25} = \frac{12.24 - 2.56}{25} = \frac{9.68}{25}
\]
\[
= 0.3872
\]

Vậy độ cao của quả bóng sau 1.6 giây là approximately 0.3872 m.