Để chứng minh các phần của bài toán, hãy xem xét từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc ở các đỉnh A, D, M, E đều bằng 90 độ.

1. **MD vuông góc với AB tại D:** Theo giả thiết, MD vuông góc với AB.
2. **ME vuông góc với AC tại E:** Theo giả thiết, ME vuông góc với AC.

Ta có:
- Góc ADM = 90 độ (do MD vuông góc với AB).
- Góc AEM = 90 độ (do ME vuông góc với AC).

Tiếp theo, ta thấy rằng cả điểm D và E đều thuộc các cạnh của tam giác vuông ABC:
- Tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là cả hai góc ∠DAB và ∠EAC đều là các góc vuông.

Vì vậy, tứ giác ADME có hai cặp cạnh vuông góc và tiếp theo là các cặp đối diện bằng nhau (AD = ME, AM = DE), do đó ADME là một hình chữ nhật.

### b) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh: 3 điểm D, I, E thẳng hàng

Ta đã chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, tức là I là điểm trung bình của AM.

1. Trong tam giác vuông ABC tại A, theo định lý trung bình, trung điểm I của AM sẽ tạo thành:
- AI = IM.

2. Do tứ giác ADME là hình chữ nhật, có p = |AD| = |ME|.

3. Do đó, theo định lý Menelaus trong tam giác AEM với đường thẳng đi qua điểm D và I:
- Ta có:
\[
\frac{AD}{DI} \cdot \frac{IE}{EA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

Bởi vì I là trung điểm của AM và do đó, các điểm D, I, E nằm trên một đường thẳng.

### c) Chứng minh tứ giác BDEM là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác BDEM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện trong tứ giác này bằng nhau.

1. **Xét các cạnh BD và EM:**
- Vì ADME là hình chữ nhật nên AD = ME. Và ta có BD = AD.

2. **Xét các cạnh DE và BM:**
- DE là một cạnh của hình chữ nhật nên DE = AD = BM (cũng là đường trung bình).

Do đó, hai cặp cạnh BD và EM, DE và BM đều bằng nhau. Vậy tứ giác BDEM có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó BDEM là một hình bình hành.

### Kết luận

Ta đã chứng minh các yêu cầu cho đề bài; do đó, các phần a, b, và c đã hoàn thành một cách chính xác.