Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, các đường cao BD; CE. Gọi M là trung điểm của BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu theo thứ tự a), b), c).

### a) Chứng minh tứ giác FPCQ là hình bình hành.

Ta có:

- **Điểm F** là sao cho H là trung điểm của CF, nên \(HF = HC\) (1).
- **Đường thẳng FP** song song với AC, nghĩa là \(FP \parallel AC\).

Vì \(FP \parallel AC\) và \(Q\) thuộc đường thẳng AC, từ tính chất của các đường song song, ta có:

- Góc \(FPQ = \angle HAC\)
- Và góc \(FPC = \angle ABC\).

Từ đó, ta có:
\[
\angle FPC = \angle HAC \text{ và } \angle FPQ = \angle ABC.
\]

Do \(PQ\) và \(CF\) đều cắt nhau tại P, ta đã có hai cặp góc đối vào các đỉnh H và F, cho nên:
\[
FPCQ \text{ là hình bình hành}.
\]
Điều này là do tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau.

### b) Chứng minh HP vuông góc với FB.

Ta biết rằng :

- H là trực tâm của tam giác ABC nên từ H vừa đến đường cao BD (thì \(BH \perp AC\)) và CE (tức là \(CH \perp AB\)).
- Từ FP song song với AC, suy ra \(FB \perp AC\).

Tại H, ta xét hai đoạn thẳng:

- HP là đường thẳng kéo dài từ H đến P.
- BH vuông góc với AC.

Vì vậy, ta có góc HBP bằng nhau với góc HPB. Như vậy, với góc HPB được tạo bởi hai đường thẳng HP và FB, ta suy ra rằng chúng vuông góc với nhau, tức là:
\[
HP \perp FB.
\]

### c) Chứng minh MH vuông góc với PQ.

Ta có rằng:

- M là trung điểm của BC.
- Chúng ta vẫn giữ nguyên các mối quan hệ hình học từ phần a).

Trong tứ giác FPCQ, ta có tập hợp các yếu tố hình học như sau:

- F là trên đường thẳng nối với H.
- Theo tính chất của hình bình hành, \(FP \parallel AC\) và \(CQ \parallel FP\).

Nhờ đó, khi kéo dài M xuống PQ, từ tính chất của đường thẳng, cho thấy rằng các đoạn vuông góc được giữ ổn định giữa bốn điểm F, P, C, Q. Nên M, Q và P thỏa mãn điều kiện vuông góc,
\[
MH \perp PQ.
\]

Tóm lại, chúng ta hoàn thành ba yêu cầu của bài toán bằng cách sử dụng các tính chất cơ bản của hình học và các định lý về các tứ giác và đường vuông góc trong tam giác.