Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng yêu cầu trong bài.

### a) Tính giá trị của biểu thức B tại \( x = \frac{1}{2} \)

Biểu thức B được cho là:

\[
B = \frac{-4}{x + 2}
\]

Thay giá trị \( x = \frac{1}{2} \):

\[
B = \frac{-4}{\frac{1}{2} + 2} = \frac{-4}{\frac{1}{2} + \frac{4}{2}} = \frac{-4}{\frac{5}{2}} = -4 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{8}{5}
\]

Vậy, giá trị của biểu thức B tại \( x = \frac{1}{2} \) là \( -\frac{8}{5} \).

### b) Rút gọn biểu thức A

Biểu thức A là:

\[
A = \frac{2x^2}{x^2 - 4} + \frac{2}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}
\]

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Nên:

\[
\frac{2x^2}{x^2 - 4} = \frac{2x^2}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Ta cần đưa tất cả các phần về cùng mẫu số:

Mẫu số chung là \( (x - 2)(x + 2) \). Ta rút gọn như sau:

\[
A = \frac{2x^2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tính giá trị từng phần:

1. \( \frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x + 4}{(x - 2)(x + 2)} \)
2. \( \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 2)(x + 2)} \)

Giờ kết hợp tất cả:

\[
A = \frac{2x^2 + 2x + 4 - (x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn tử số:

\[
= \frac{2x^2 + 2x + 4 - x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn tiếp:

\[
= \frac{x + 2}{x - 2} \quad (x \neq -2)
\]

### c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên

Biểu thức \( P = A \cdot B \):

\[
P = \frac{x + 2}{x - 2} \cdot \left(-\frac{8}{5}\right) = -\frac{8(x + 2)}{5(x - 2)}
\]

Để P là một số nguyên, \( \frac{8(x + 2)}{5(x - 2)} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 5(x - 2) \) phải chia hết cho 8.

Lúc này, ta có điều kiện là \( x - 2 \) phải chia hết cho \( \frac{8}{5} \), tức là \( x - 2 \) là bội số của 8.

Giải phương trình \( x - 2 = 0 \mod 5 \) sẽ cho ra các giá trị nguyên cần tìm. Bạn có thể thử các giá trị nguyên xung quanh 2 và xem kết quả.

Các số nguyên thỏa mãn điều kiện có thể là:
- \( x = -6, -3, -2, 2, 3, 6 \)

Hy vọng đây là phần giải mà bạn cần!