Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng định lý tỉ lệ và tính toán theo các tỉ số đã biết.

Bước 1: Đặt các tỉ số theo yêu cầu của đề bài.

Gọi \( BD = x \) thì \( BC = \frac{3}{4} BD = \frac{3}{4}x \). Do đó, ta có:
\[
CD = BC - BD = \frac{3}{4}x - x = -\frac{1}{4}x \quad \text{(không hợp lệ, tại đây có vẻ sai về cách đặt, ta xem lại)}.
\]
Chỗ này nhớ là \( BD + CD = BC \). Để dễ dàng hơn thì ta đưa một cách đặt mới:
Gọi \( BC = 3k \), theo đó:
\[
BD = 4k \quad \text{và} \quad CD = BD - BC = 4k - 3k = k.
\]

Bước 2: Tính đoạn \( AD \).

Từ điểm D trên cạnh BC, ta lấy \( BD:CD = 4:1 \) (tính tổng tỉ số của các đoạn). Gọi \( AB = c \), \( AC = b \). Lúc này tỉ số của BD và CD sẽ không trực tiếp tính với AD.

Bước 3: Lưu ý về E.

Theo đề bài, \( AE = \frac{1}{3} AD \) nên \( ED = \frac{2}{3} AD \).

Bước 4: Sử dụng định lý đường thẳng song song (DH // BK) để tìm tỉ số \( AK/KC \).

Vì \( DH \parallel BK \) nên tỉ số của các đoạn được chia trong tam giác vẫn giữ nguyên. Đặt theo tỉ lệ:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{DE} \quad \text{(từ tam giác ADH và BEK)}.
\]
Ta thấy \( D \) trên \( BC \) với tỉ lệ \( 4:1 \) (theo B) và \( E \) chia theo \( 3:2 \).

Vì k = 1 ở đây thì ta sẽ có tỉ lệ từ E kéo dài tới A theo \( AC \) được tỉ lệ ngược lại với \( DE \).

Như vậy tỉ số sẽ:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{4}{1}=\frac{4}{2\cdots} = 4:1.
\]

Tóm lại, tỉ số \( \frac{AK}{KC} \) sẽ được tính là \(\frac{1}{2}\).