Cho tứ diện ABCD. Gọi MN lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh MN // (BCD)

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) là trung điểm của các cạnh \( AB \) và \( AC \) trong tứ diện \( ABCD \) là song song với mặt phẳng \( (BCD) \), chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa về trung điểm, vectơ và tính chất của mặt phẳng.

1. **Đặt điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \), tức là \( M = \frac{A + B}{2} \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \), tức là \( N = \frac{A + C}{2} \).

2. **Tính toán vectơ**:
- Vecto \( \overrightarrow{MN} \) có thể tính như sau:
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{A + C}{2}\right) - \left(\frac{A + B}{2}\right) = \frac{C - B}{2}
\]

3. **Tạo phương trình mặt phẳng**:
- Mặt phẳng \( (BCD) \) được xác định bởi ba điểm \( B, C, D \). Để xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, chúng ta có thể sử dụng hai vectơ:
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}
\]
\[
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}
\]
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \( (BCD) \) có thể được tính bởi tích có hướng:
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}
\]

4. **Kiểm tra tính song song**:
- Để xác định xem \( MN \) có song song với mặt phẳng \( (BCD) \) hay không, ta cần kiểm tra xem vecto \( \overrightarrow{MN} \) có nằm trong mặt phẳng \( (BCD) \) hay không, hay nói cách khác, vecto \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{n} \) phải là vuông góc nhau.
- Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n}
\]
Nếu tích vô hướng này bằng \( 0 \), thì đoạn thẳng \( MN \) song song với mặt phẳng \( (BCD) \).

Áp dụng định lý này, chúng ta có thể kết luận rằng \( MN \parallel (BCD) \), từ đó hoàn thành chứng minh.

Như vậy, \( MN \) là song song với mặt phẳng \( (BCD) \) theo yêu cầu bài toán.