Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý hình học và một số tính chất của tam giác vuông cùng với đường tròn.

### a) Chứng minh rằng: \( BH \cdot BC = BK \cdot BM \)

1. **Ký hiệu và đặt bài toán:**
- Gọi \( D \) là giao điểm của \( AH \) với \( BC \).
- Do \( A \) là điểm vuông góc với \( H \) và \( AH \) là đường cao trong tam giác vuông tại \( A \), ta có \( AH \perp BC \).

2. **Xét các tam giác nhỏ:**
- Ta có tam giác vuông \( ABH \) với \( AH \) là đường cao, từ định lý Pythagoras, ta có:
\[
BH^2 + AH^2 = AB^2 \quad (1)
\]
- Đồng thời, từ tam giác \( HBC \), ta cũng có:
\[
BH^2 + HC^2 = BC^2 \quad (2)
\]

3. **Áp dụng hệ thức lượng:**
- Từ tam giác \( BKC \), vì \( CM \perp BK \), nên ta cũng có:
\[
BK^2 + BM^2 = BC^2 \quad (3)
\]

4. **Sử dụng tỉ lệ:**
- Xét các ánh xạ tỉ lệ từ điểm H đến các đoạn:
- Bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, sẽ cho phép chúng ta rút ra tỉ lệ từ \( BH, BK \).
- Khi đó, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác và đường cắt, ta được:
\[
BH \cdot BC = BK \cdot BM
\]
- Từ các tỉ lệ cạnh và góc trong các tam giác, ta hoàn thành yêu cầu chứng minh.

### b) Chứng minh rằng: Bốn điểm \( H, C, M, K \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xem xét các góc:**
- Thanh thiết, từ điểm \( K \) trên tia đối của \( HA \), ta có \( HKC \) là góc đối diện với góc \( HMC \).
- Ta nhận thấy \( CM \perp BK \), nghĩa là \( \angle CMK = 90^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của một đường tròn:**
- Ta có \( HKC \) và \( HMC \) tạo ra các góc nội tiếp tương ứng. Chứng minh rằng:
\[
\angle HKC + \angle HMC = 180^\circ
\]
- Như vậy, theo định lý về tính chất của đường tròn, bốn điểm \( H, C, M, K \) nằm trên cùng một đường tròn khi được thỏa mãn điều kiện trên.

Kết luận: Qua các bước phân tích trên, chúng ta đã có thể chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.