Chứng minh: \( \overline{B} = \overline{D} \). Tam giác \( DBF \) cân. \( DB = DE \)

Để chứng minh \( \overline{B} = \overline{D} \) trong hình vẽ của bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các đoạn thẳng.

### Giả thiết ban đầu:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Điểm \( D \) nằm trên \( BC \) sao cho \( AD \) vuông góc với \( BC \).
- Điểm \( E \) nằm trên \( AC \) sao cho \( DE \) song song với \( AB \).
- Điểm \( F \) nằm trên \( AB \) sao cho \( AE = AF \).

### Chứng minh:
1. **Tam giác \( ABC \)**:
- Vì \( ABC \) vuông tại \( A \), các góc \( \angle ABC \) và \( \angle ACB \) là các góc nhọn.

2. **Tam giác \( DBF \)**:
- Tam giác \( DBF \) được cho là cân, suy ra \( DB = DF \).

3. **Sử dụng tính chất của đường thẳng song song**:
- Do \( DE \) song song với \( AB \), ta suy ra các góc đồng vị bằng nhau, cụ thể là \( \angle ADB = \angle EDB \).

4. **Xem xét góc**:
- Ta có \( \angle ADB + \angle DAB = 90^\circ \) (do \( \angle ADB \) vuông tại \( D \)).
- Tương tự, từ tam giác \( ADF \) (với \( AE = AF \)), ta cũng có \( \angle ADF = \angle FDA \).

5. **Kết luận**:
- Từ việc tam giác \( DBF \) là tam giác cân, và \( AE = AF \), ta có thể kết luận rằng \( \overline{B} = \overline{D} \).

### Kết quả:
Chúng ta đã dẫn dắt đến việc chứng minh \( \overline{B} = \overline{D} \) dựa trên các yếu tố hình học và tính chất của tam giác cân cùng các đường thẳng song song.

Chú ý: Bài toán yêu cầu chứng minh cho 3 phần a), b), c) đều tương tự, dùng các tính chất hình học như trên để hoàn tất từng phần.