Để chứng minh \( BD = DE \), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và hình bình hành.

### Chứng minh

1. **Gọi điểm** \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( ED \).
2. Do \( AE = AB \) và \( AB < AC \), ta có tam giác \( ABE \) là tam giác cân tại \( A \) với đáy \( BE \).
3. Trong tam giác \( ABE \), ta có:
- \( AE = AB \) (điều đã cho).
- \( BE \) là cạnh chung cho \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACD \).

4. Từ tính chất đối xứng và tính chất của hai tam giác bằng nhau, ta có \( BD = DE \).

5. **Kết luận**: Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BD = DE \).

### Chú ý
- Nếu \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( ED \), bạn cần chú ý đến các điều kiện phụ (nếu có) cho \( K \) để hoàn thiện luận điểm cho các phần còn lại của bài toán.

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giải thích cho các phần khác, hãy cho tôi biết!