Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và phân giác.

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
- Đánh dấu các điểm B và C, và vẽ tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm M.

2. **Dữ kiện đã cho**:
- MB = MC (điều này có nghĩa là M là trung điểm của đoạn thẳng BC).

3. **Áp dụng định lý phân giác**:
- Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Vì MB = MC, nên ta có \( AM = MC \).

4. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Gọi số đo góc C là \( x \). Theo tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
- Vì ABC vuông tại A, ta có \( \angle A = 90^\circ \), tức là:
\[
\angle B + \angle C = 90^\circ
\]
- Khi đó, \( \angle B = 90^\circ - x \).

5. **Tính số đo góc C**:
- Thay vào công thức phân giác, có:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AM}{AM} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{AB}{BC}
\]
- Điều này dẫn đến \( AB = BC \).

6. **Tính số đo \( C \)**:
- Từ sự cân bằng \( \angle B = \angle C \):
\[
90^\circ - x = x \Rightarrow 90^\circ = 2x \Rightarrow x = 45^\circ
\]

Vậy ta có số đo góc C là:
\[
\angle C = 45^\circ.
\]

Tóm lại, số đo của góc C là \( 45^\circ \).