Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học:

### a. Chứng minh \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\)

- **Cạnh chung**: \(AM\) là cạnh chung của hai tam giác.
- **Cạnh bằng nhau**: Trong tam giác cân ABC, \(MB = MC\).
- **Góc bằng nhau**: Góc \(ABM = \angle ACM\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và tam giác cân).

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh, ta có:

\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM.
\]

### b. Chứng minh \(AB \parallel CD\)

Vì \(ME\) vuông góc với \(AB\) và \(MF\) vuông góc với \(DC\), nên:

- Góc \(AME = 90^\circ\)
- Góc \(CMF = 90^\circ\)

Do đó, nếu hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng sẽ song song với nhau, nên:

\[
AB \parallel CD.
\]

### c. Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(EF\)

- Từ \(D\) (điểm trên tia đối của \(MA\)), có \(MD = MA\).
- Do đó, từ tính chất của tam giác cân, \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa hai điểm \(E\) và \(F\) (bởi vì các vectơ \(ME\) và \(MF\) đều được tạo ra với các góc vuông bằng nhau).

Vậy nên:

- \(M\) là trung điểm của \(EF\).

Kết luận:

- a) \(\triangle ABM = \triangle ACM\)
- b) \(AB \parallel CD\)
- c) \(M\) là trung điểm của \(EF\)