Để xem xét tính liên tục của các hàm số tại \( x = 1 \), bạn cần kiểm tra ba điều kiện chính:

1. **Hàm số phải xác định tại điểm \( x = 1 \)**: Tức là giá trị hàm \( f(1) \) phải tồn tại.
2. **Giới hạn của hàm số khi tiến gần đến \( x = 1 \)**: Tính giá trị giới hạn \( \lim_{x \to 1} f(x) \) và đảm bảo rằng giá trị này tồn tại.
3. **Giá trị giới hạn phải bằng giá trị hàm tại điểm đó**: Đảm bảo rằng \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các điều kiện này cho từng hàm cho trước:

### a. \( y = 5x - 3 \)

1. Hàm xác định tại \( x = 1 \): \( f(1) = 5(1) - 3 = 2 \).
2. Giới hạn: \( \lim_{x \to 1} (5x - 3) = 5(1) - 3 = 2 \).
3. So sánh: \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2 \).

=> Hàm này liên tục tại \( x = 1 \).

### b. \( y = \frac{x - 1}{x} \)

1. Hàm xác định tại \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{1 - 1}{1} = 0 \).
2. Giới hạn: \( \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x} = \frac{1 - 1}{1} = 0 \).
3. So sánh: \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0 \).

=> Hàm này liên tục tại \( x = 1 \).

### c. \( y = \frac{1}{x - 1} \)

1. Hàm không xác định tại \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{1}{1 - 1} \) không tồn tại.
2. Giới hạn: \( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \) không tồn tại (tiến tới \( +\infty \) hoặc \( -\infty \)).
3. Không cần so sánh vì hàm không xác định.

=> Hàm này không liên tục tại \( x = 1 \).

### d. \( y = 3x^2 + x \)

1. Hàm xác định tại \( x = 1 \): \( f(1) = 3(1^2) + 1 = 4 \).
2. Giới hạn: \( \lim_{x \to 1} (3x^2 + x) = 3(1^2) + 1 = 4 \).
3. So sánh: \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 4 \).

=> Hàm này liên tục tại \( x = 1 \).

### Kết luận:

- Các hàm liên tục tại \( x = 1 \): a, b, d.
- Hàm không liên tục tại \( x = 1 \): c.