Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ Ax là tiếp tuyến tại A của (O). Trên Ax lấy điểm M khác A. Từ M vẽ MC là tiếp tuyến của (O) (C là tiếp điểm)

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( NB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) với điểm tiếp xúc \( B \), ta sẽ thực hiện như sau:

### Bước 1: Xác định các đối tượng trong bài toán
- Đường tròn \( (O) \) có đường kính \( AB \).
- \( Ax \) là tiếp tuyến tại điểm \( A \).
- \( C \) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến \( MC \) từ điểm \( M \) đến đường tròn \( (O) \).
- \( N \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( O \) với tia \( MC \).

### Bước 2: Chứng minh tính chất tiếp tuyến
Ta có:
1. Vì \( M \) là điểm trên tiếp tuyến \( Ax \) và \( C \) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến \( MC \) với \( (O) \), nên \( MC \) vuông góc với đoạn \( OC \). Do đó, \( \angle MCA = 90^\circ \) (điều này đúng vì \( C \) là điểm tiếp xúc).

2. Xét tam giác \( MBC \):
- Trong tam giác \( MBC \), \( N \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( O \), nghĩa là \( ON \perp BC \).
- Do \( O \) ở giữa \( AB \) (là đường kính) mà \( A \) và \( B \) nằm trên đường tròn, ta có:
\[
OA = OB \, (\text{bán kính})
\]

3. Bây giờ, theo định nghĩa, một đoạn thẳng là tiếp tuyến nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó:
- Vì \( ON \perp BC \) và \( OC \perp MC \), chúng ta cần chứng minh rằng \( BN \) cũng vuông góc với \( OB \).

### Bước 3: Điều cần chứng minh
Ta đã biết:
- \( NB \) là đường vuông góc với \( OB \) trong tam giác vuông \( OAB \). Theo tính chất của tam giác vuông, nếu \( N \) nằm trên đường thẳng \( O \), thì:
\[
ON \text{ vuông góc với } OB \Rightarrow NB \text{ là tiếp tuyến của } (O)
\]

### Kết luận
Qua các bước chứng minh, chúng ta đã khẳng định rằng đoạn \( NB \) chính là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( B \).

Vậy ta đã hoàn thành bài toán chứng minh \( NB \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( B \).