Cho tam giác MNP vuông góc tại M. Gọi P là trung điểm PN, qua B kẻ đường thẳng lần lượt vuông góc với MN, MP tại A và C

Ta có một tam giác MNP vuông tại M, với P là trung điểm của cạnh PN. Gọi B là điểm trên đoạn thẳng MN, từ B kẻ các đường thẳng vuông góc với MN tại A và với MP tại C. Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh tứ giác ABCM là hình chữ nhật

**Ta cần chứng minh:**
1. AB vuông góc với BC
2. BC vuông góc với CM
3. CM vuông góc với AM
4. AM vuông góc với AB

- **Chứng minh AB vuông góc với BC:**

Theo giả thiết, AB vuông góc với MN. B lại nằm trên MN, do đó AB vuông góc với đoạn MN. Do MNP là tam giác vuông tại M, nên MP vuông góc với MN. Mà C nằm trên đoạn thẳng MP và đường thẳng BC vuông góc với MP, cho nên BC vuông góc với AB.

- **Chứng minh BC vuông góc với CM và CM vuông góc với AM:**

Tương tự, đường thẳng BC vuông góc với MP mà MP vuông góc với MN, do đó CM vuông góc với BC. Cuối cùng, vì B nằm trên MN, ta cũng suy ra rằng AM vuông góc với BN.

Như vậy, tứ giác ABCM có tất cả các góc vuông, do đó ABCM là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ABPC là hình bình hành

**Để chứng minh rằng tứ giác ABPC là hình bình hành, ta cần chứng minh:**
1. AB song song với PC
2. AC song song với BP

- **Chứng minh AB song song với PC:**

Từ giả thiết, đoạn thẳng AB vuông góc với MN, và do P là trung điểm của PN, nên đoạn thẳng PC cũng vuông góc với MN. Do hai đoạn thẳng AB và PC đều vuông góc với cùng một đoạn thẳng (MN), nên AB song song với PC.

- **Chứng minh AC song song với BP:**

Tương tự, đoạn thẳng AC vuông góc với MP, mà B là một điểm trên đường thẳng MN, còn P là trung điểm của PN. Do đó, đoạn thẳng BP cũng vuông góc với MP. Hai đoạn AC và BP vuông góc với cùng một đoạn thẳng (MP), do đó AC song song với BP.

Vậy nên, tứ giác ABPC là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối song song.

### c) Chứng minh tứ giác BKMK là hình thoi

**Ta cần chứng minh rằng BKMK có 4 cạnh bằng nhau.**

- **K là điểm đối xứng của B qua C:**

Thì theo định nghĩa, BK = BC và MK = MB bởi vì C là trung điểm của BM.

- **Xét các cạnh:**

Ta có Bk = BM, C = (1/2)(B + M), do đó BM = BC.
Tương tự, MK = MB.

Từ đó, ta có:
- BK = BM
- BK = BC
- MK = MB

Vậy tứ giác BKMK có bốn cạnh bằng nhau, suy ra nó là hình thoi.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng:
- Tứ giác ABCM là hình chữ nhật.
- Tứ giác ABPC là hình bình hành.
- Tứ giác BKMK là hình thoi.

Vậy ta hoàn tất bài chứng minh!