Để chứng minh rằng \( CK \parallel NI \), chúng ta sẽ sử dụng các yếu tố đã cho trong bài toán.

1. **Cho biết**:
- \( AC = BC \)
- \( CN \) là tia phân giác của góc \( C \)
- \( BI = AC = BC \)

2. **Chứng minh**:
- Từ \( AC = BC \), ta có tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( C \). Do đó, \( \angle BAC = \angle ABC \).
- Bởi vì \( CN \) là tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{BC} = 1 \implies AN = NB
\]

3. **Xét tam giác \( ABC \)**:
- Từ \( AN = NB \), ta kết luận rằng \( CN \) không chỉ là tia phân giác mà còn là chiều cao của tam giác \( ABC \) (vì \( C \) nằm trên đường thẳng \( AB \)).

4. **Xét điểm \( I \) trên tia đối của \( BC \)**:
- Với \( BI = AC \) và \( IK \perp AB \), ta có \( CK \perp AB \) (vì \( K \) thuộc đường thẳng \( AB \)).

5. **Suy ra rằng**:
- Nếu \( CK \perp AB \) và \( NK \perp AB \), thì \( CK \parallel NI \) theo tiêu chuẩn của đoạn thẳng vuông góc.

Tóm lại, ta đã sử dụng tính chất của tam giác cân và phân giác cùng với các mối quan hệ vuông góc để chứng minh rằng \( CK \parallel NI \).