Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C). Trên mặt phẳng bởi BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm DH và BK; N là giao điểm KH và BD

Bài toán này yêu cầu chứng minh một số mối quan hệ trong hình vuông ABCD và liên quan đến điểm H và những giao điểm M, N. Dưới đây là các bước giải bài toán:

1. **Chứng minh góc DH vuông góc với BK:**
- Do hình vuông ABCD có các cạnh vuông góc với nhau và các điểm D, H, B, K cấu thành các hình chữ nhật hoặc tam giác vuông, ta có thể dễ dàng thiết lập rằng góc DH và BK tạo thành một góc vuông.

2. **Chứng minh tỉ lệ hợp lệ:**
- Thể hiện rằng tỉ số \( \frac{BH}{HC} = \frac{s_{MD} + s_{BK}}{s_{BK}} \) và các mối quan hệ tương tự để có được đẳng thức \( \frac{BH}{HC} + \frac{DH}{HM} + \frac{KH}{HN} = 6 \).
- Sử dụng định nghĩa về diện tích và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng để chứng minh các tỷ số trên.

3. **Gọi P là giao điểm của CN và DH:**
- Qua P, ta kéo đường thẳng song song với BD cắt BK tại điểm Q. Chứng minh rằng E là trung điểm của PQ.
- Sử dụng định lý về các đường trung bình trong tam giác hoặc hình chữ nhật để tìm ra mối quan hệ giữa các điểm và chứng minh rằng E chính là trung điểm.

Qua từng bước này, bạn sẽ có thể hoàn thiện chứng minh cho bài toán một cách chi tiết và logic.