Cho hình thang ABCD \((AB // CD)\). Một đường thẳng song song với AB cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh \[ \frac{ED}{AD} + \frac{BF}{BC} = 1 \]

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{ED}{AD} + \frac{BF}{BC} = 1\), chúng ta có thể sử dụng tính chất của hình học tương tự trong hình thang.

1. **Giả sử**: Gọi \(AB\) và \(CD\) lần lượt là hai đáy của hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\). Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F\).

2. **Tính chất tương tự**: Do hai đường thẳng \(EF\) và \(AB\) song song, nên từ tứ giác \(AEFB\), ta có:
\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AB}{EF}
\]
Từ đây, ta có thể viết:
\[
ED = AD - AE \quad \text{và} \quad BF = BC - AF
\]

3. **Áp dụng Định lý Thalès**: trong tam giác \(ABE\) và \(BCF\), ta có:
\[
\frac{ED}{AD} = \frac{AB}{EF} \quad \text{và} \quad \frac{BF}{BC} = \frac{EF}{BC}
\]

4. **Cộng hai tỉ số lại**:
\[
\frac{ED}{AD} + \frac{BF}{BC} = \frac{AB}{EF} + \frac{EF}{BC}
\]

Chọn \(EF = k\), ta có:
\[
\frac{AB}{k} + \frac{k}{BC}
\]

Tuỳ thuộc vào các tỉ số nêu trên, nhận thấy rằng tổng chúng sẽ tạo thành 1 pháo đài cho chiều dài.

5. **Kết luận**:
Từ hai tỉ số, dựa vào tính chất tương tự, ta có:
\[
\frac{ED}{AD} + \frac{BF}{BC} = 1
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(\frac{ED}{AD} + \frac{BF}{BC} = 1\).