Để tính diện tích tam giác ABN, ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ABN.

1. Gọi \( AC = b \) (độ dài cạnh AC của tam giác ABC).

2. Theo đề bài, \( AN = \frac{2}{3} \times AC = \frac{2}{3}b \).

3. Diện tích của tam giác tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times đáy \times chiều cao
\]
Ở đây, đối với tam giác ABC, đáy là AC và chiều cao là chiều cao từ B đến AC.

4. Diện tích tam giác ABC được cho là \( S_{ABC} = 210 \, cm^2 \).

5. Diện tích tam giác ABN sẽ được tính như sau:
- Đáy ABN là AN (được xác định như trên).
- Chiều cao từ B đến AN vẫn giữ nguyên như chiều cao từ B đến AC.

6. Do đó, diện tích tam giác ABN sẽ là:
\[
S_{ABN} = \frac{1}{2} \times AN \times chiều cao
\]
Tỉ lệ giữa AN và AC là \( \frac{2}{3} \), nên:
\[
S_{ABN} = \frac{2}{3} \times S_{ABC}
\]

7. Thay giá trị của \( S_{ABC} \):
\[
S_{ABN} = \frac{2}{3} \times 210 \, cm^2 = 140 \, cm^2
\]

Vậy diện tích tam giác ABN bằng \( 140 \, cm^2 \).