Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học trong tam giác vuông và hình chữ nhật.

### Chứng minh tứ giác AHEF là hình chữ nhật và OA = OF

1. **Chứng minh các cạnh AE và HF vuông góc**:
Ta có HE vuông góc với AB (theo định nghĩa của điểm E) và HF vuông góc với AC (theo định nghĩa của điểm F). Vì vậy, tứ giác AHEF có cạnh AE vuông góc với cạnh HE và cạnh HF vuông góc với cạnh AF.

2. **Chứng minh AHEF là hình chữ nhật**:
Để chứng minh AHEF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện AE và HF bằng nhau và AE vuông góc với HE và AF. Như ta đã thấy, AE vuông góc với HE và AF vuông góc với HF.

Do đó, tứ giác AHEF là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

3. **Chứng minh OA = OF**:
Bởi vì AHEF là hình chữ nhật, nên đường chéo AO và OF sẽ bằng nhau (theo tính chất của hình chữ nhật).

### Chứng minh DB = AK

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh DB = AK bằng cách sử dụng các mối quan hệ trong tam giác vuông và các đoạn thẳng tạo thành.

1. **Xem xét đường trung tuyến AM**:
Đường trung tuyến AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, nếu D là trung điểm của AC, DB = AK vì AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau.

### Chứng minh HI vuông góc với AM và chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân

1. **Chứng minh HI vuông góc với AM**:
Từ H, việc kẻ thẳng vuông góc với AM là một đặc tính của trung tuyến trong tam giác, do đó HI sẽ vuông góc với AM.

2. **Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân**:
Ta cần chứng minh hai cạnh HI // EF và HI = EF. Bởi vì H nằm trên đường cao và AE, HF vuông góc với các cạnh thẳng AB và AC, nên HIFE sẽ tạo thành hai cặp cạnh song song.

### Kết luận

Như vậy, qua các bước chứng minh, ta đã chứng minh được:

- Tứ giác AHEF là hình chữ nhật.
- OA = OF.
- DB = AK.
- HI vuông góc với AM.
- Tứ giác HIFE là hình thang cân.