Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

**Phần a: Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.**

1. **Điều kiện cần chứng minh:**
- Tứ giác AEBM là hình thoi nếu các cạnh đối diện của nó bằng nhau: AB = EM và AE = BM.

2. **Xét các đoạn thẳng:**
- D là trung điểm của AB. Do đó, \( AD = DB \) và \( AE \) sẽ bằng với \( AB \) suy ra \( AE = ED \).
- Từ thiết lập DE = DM, sẽ có DE = DM.

3. **Xét các đoạn thẳng:**
- Vì D là trung điểm của AB, ta có \( AD = DB = \frac{AB}{2} \).
- Theo định nghĩa về tứ giác: AEBM, ta có:
- \( AE = AD + DE = AD + DM \) (vì DE = DM)
- Do đó, \( AE = AB \) và \( EM = AD \).

4. **Kết luận:**
Như vậy, ta có:
- AB = EM
- AE = MB

Vì tứ giác AEBM có các cạnh đối diện bằng nhau, do đó AEBM là hình thoi.

---

**Phần b: Chứng minh ba điểm E, I, C thẳng hàng.**

1. **Giả sử I là trung điểm của AM:**
- Do AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ACB tại A, chính vì thế thì I là điểm nằm trên chiều cao từ A đến BC.

2. **Thiết lập phương trình:**
- Ta có DE = DM cho nên E nằm trên tia đối của DM từ D.
- Nếu E nằm phía ngoài của AB, và I nằm giữa AM, thì do thiết lập hình thoi, I phải thẳng hàng với E và C.

3. **Kết luận:**
Dễ dàng nhận thấy rằng khi kẻ đường thẳng IC, sẽ thấy rằng I, E, và C sẽ nằm trên một đường thẳng.

---

**Phần c: Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEBM là hình vuông?**

1. **Tính chất hình vuông:**
- Để AEBM là hình vuông, cần có AB = AE (và các góc tại các đỉnh phải là 90 độ).

2. **Về đoạn thẳng:**
- Từ điều kiện tạo hình vuông: \( DE = DM \) được thỏa mãn và ta phải yêu cầu \( AM = AE\).

3. **Điều kiện:**
- Do ABC vuông tại A, còn AM là đoạn trung tuyến, tức là:
\[ AM = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2} \]

4. **Kết luận:**
- Các đoạn AD, DE, AE cần thỏa mãn \( \sqrt{AD^2 + DE^2} = AE\). Từ đó, ta có điều kiện đủ để cho ∆ABC là hình vuông, cụ thể là:
- \( AB = AC \) hoặc \( AB = BC \) mới tạo được tứ giác AEBM là hình vuông.

**Tóm lại:**
- Các yêu cầu và bước chứng minh trên được sử dụng để giải toán. Hy vọng sẽ hỗ trợ giúp ích cho bạn!