Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2} + 2x + 8} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định điều kiện của \( x \)

Biểu thức sẽ hợp lệ khi:
1. \( x - 2 \geq 0 \) (do có căn bậc hai), tức là \( x \geq 2 \).
2. \( \sqrt{x - 2} + 2x + 8 \neq 0 \).

### Bước 2: Rút gọn mẫu số

Ta có:
\[
\sqrt{x - 2} + 2x + 8
\]
Tối giản hóa mẫu số bằng cách chỉ định biến \( u = \sqrt{x - 2} \), từ đó \( u^2 = x - 2 \) hay \( x = u^2 + 2 \).

Thay vào, ta có:
\[
\sqrt{x - 2} = u
\]
Và mẫu số trở thành:
\[
u + 2(u^2 + 2) + 8 = u + 2u^2 + 4 + 8 = 2u^2 + u + 12
\]

### Bước 3: Rút gọn tử số

Xét tử số:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{x + 2} = \sqrt{u^2 + 2} + \sqrt{u^2 + 4}
\]

### Bước 4: Đưa biểu thức về một dạng có thể rút gọn

Ta phải xem xét lại tử và mẫu, muốn rút gọn, có thể thực hiện bằng cách phân tích hoặc bù trừ các căn bậc hai.

### Kết quả tạm thời

Biểu thức hiện tại vẫn chưa trực tiếp rút gọn nhưng đã được đưa về dạng \( u \). Tiếp theo sẽ cần xem xét thêm những bước cụ thể để loại bỏ căn bậc hai trong mẫu.

Tuy nhiên, việc rút gọn trực tiếp \( A \) thành dạng đơn giản hơn có thể không khả thi nếu chỉ dựa vào tính toán căn bậc hai mà không có thêm thông tin cụ thể từ biểu thức \( A \).

Nếu cần hỗ trợ thêm, bạn có thể đưa ra một phương pháp cụ thể hơn hoặc chỉ định các giá trị cụ thể cho \( x \).