Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là tính chất của đường tròn và các tiếp tuyến.

**a)** Biết chu vi tam giác \( MAB \) là 18 cm, ta có:

\[
MA + MB + AB = 18 \text{ cm}
\]

Vì \( MA \) và \( MB \) là hai tiếp tuyến từ điểm \( M \) đến đường tròn \( O \), nên \( MA = MB \). Gọi \( MA = MB = x \), ta có:

\[
2x + AB = 18 \text{ cm}
\]

Để tính độ dài \( AB \), ta cần một giá trị cho \( x \). Theo tính chất của góc giữa hai tiếp tuyến, ta có:

\[
\angle AMB = 60^\circ
\]

Trong tam giác vuông \( OMA \) và \( OMB \), ta biết \( OA = OB = r \) (bán kính của đường tròn) và góc \( AMB \), từ đó ta có thể áp dụng định lý cosin:

Với tam giác \( MAB \):

\[
AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(60^\circ)
\]

Đặt \( MA = MB = x \):

\[
AB^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
AB^2 = 2x^2 - x^2 = x^2
\]
\[
AB = x
\]

Thay vào phương trình chu vi chúng ta có:

\[
2x + x = 18
\]
\[
3x = 18 \Rightarrow x = 6 \text{ cm}
\]

Từ đó, tính được \( AB \):

\[
AB = x = 6 \text{ cm}
\]

**b)** Để chứng minh \( AB < BC \):

- Lấy điểm \( C \) đối xứng với \( B \) qua \( M \). Suy ra: \( MB = MC \).
- Trong tam giác \( MBC \), \( \angle MBC = \angle AMB = 60^\circ \).

Ta có \( MC = MB = 6 \text{ cm} \). Tính độ dài \( BC \) bằng định lý cosin trong tam giác \( MBC \):

\[
BC^2 = MB^2 + MC^2 - 2 \cdot MB \cdot MC \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
BC^2 = 36 + 36 - 36 = 36
\]
\[
BC = 6 \text{ cm}
\]

Bây giờ chúng ta so sánh:

- Từ \( A \) đến \( B \), ta được \( AB = 6 \text{ cm} \).
- Từ \( B \) đến \( C \), ta thấy:

\[
AB < BC \text{ vì } A, B, C tạo thành đường thẳng với \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
\]

Kết luận: \( AB < BC \).