Cho tam giác ABC có AB=AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Để chứng minh rằng ba điểm \(E\), \(D\), và \(F\) thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các điểm được xác định.

Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), vì vậy \(BM = MC\). Vậy \(MA = MD\) có nghĩa là điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua điểm \(M\).

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các điểm \(E\) và \(F\):
- Điểm \(E\) được lấy trên tia đối của tia \(BA\), với điều kiện \(BA = BE\). Điều này có nghĩa là \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua điểm \(A\).
- Điểm \(F\) cũng tương tự, là điểm đối xứng của \(C\) qua điểm \(A\), với điều kiện \(CF = CA\).

**Chứng minh:**

1. **Các tính chất điểm M và D:**
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\).
- Điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\), do đó, \(MD = MA\).

2. **Các ba điểm E, D, F:**

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các vector \( \overrightarrow{ED}\) và \( \overrightarrow{DF}\) nằm trên cùng một đường thẳng.

3. **Sử dụng phương trình vector:**
- Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\). Khi đó, \(O\) chỉ ra một mối quan hệ đối xứng với các điểm \(B\) và \(C\).

- Ta có:
\[
\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}
\]
\[
\overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{C}
\]

4. **Vector từ D tới E và D tới F:**
- Ta chú ý rằng, vì \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\), do đó \(M\) nằm trên đường thẳng \(EFD\).

5. **Kết luận:**
- Sử dụng tính chất đối xứng và trung điểm, ta có thể kết luận rằng ba điểm \(E\), \(D\), và \(F\) nằm trên cùng một đường thẳng.

>> Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng ba điểm \(E\), \(D\), và \(F\) thẳng hàng.