Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm là \( f'(x) = (x-1)^{2}(x+1)(x-5), \forall x \in \mathbb{R} \). Số điểm cực trị của hàm số \( g(x) = f(x^2 + 3x + 1) \) là bao nhiêu?

Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( g(x) = f(x^2 + 3x + 1) \), ta cần xác định đạo hàm của \( g(x) \).

Áp dụng quy tắc chuỗi, ta có:

\[
g'(x) = f'(u) \cdot u'
\]

với \( u = x^2 + 3x + 1 \) và

\[
u' = 2x + 3
\]

Vì vậy,

\[
g'(x) = f'(x^2 + 3x + 1) \cdot (2x + 3)
\]

Để \( g'(x) = 0 \), ta cần các điều kiện sau:

1. \( f'(x^2 + 3x + 1) = 0 \)
2. \( 2x + 3 = 0 \)

### Bước 1: Tìm nghiệm của \( 2x + 3 = 0 \)

Giải phương trình:

\[
2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}
\]

### Bước 2: Tìm các điểm mà \( f'(u) = 0 \)

Đạo hàm \( f'(x) \) có các nghiệm là:

1. \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
2. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
3. \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)

Do đó, \( f'(x) = 0 \) tại \( x = -1, 1, 5 \).

### Bước 3: Tìm \( g'(x) = 0 \)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình:

\[
x^2 + 3x + 1 = -1 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0
\]

Phương trình trên có nghiệm:

\[
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1, -2
\]

Tiếp theo,

\[
x^2 + 3x + 1 = 1 \Rightarrow x^2 + 3x = 0
\]

Phương trình trên có nghiệm:

\[
x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0, -3
\]

Cuối cùng,

\[
x^2 + 3x + 1 = 5 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0
\]

Phương trình trên có nghiệm:

\[
x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1, -4
\]

### Kết luận

Các điểm mà \( g'(x) = 0 \) cho ta các giá trị:

- Từ \( u = -1 \): \( x = -1, -2 \)
- Từ \( u = 1 \): \( x = 0, -3 \)
- Từ \( u = 5 \): \( x = 1, -4 \)

Tổng hợp lại, ta có các điểm cực trị:

\[
x = -1, -2, 0, -3, 1, -4
\]

Số điểm cực trị của hàm số \( g(x) \) là:

\[
\text{Tổng số điểm cực trị} = 6
\]

Vậy số điểm cực trị của hàm số \( g(x) \) là \( \boxed{6} \).