Để giải bài toán, ta có phương trình:

\[ 9x^2 + 4y^2 = 20xy. \]

Ta có thể chuyển phương trình này về dạng chuẩn hơn bằng cách đưa vào dạng bậc hai. Ta sẽ sắp xếp lại như sau:

\[ 9x^2 - 20xy + 4y^2 = 0. \]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( x \). Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

với \( a = 9, b = -20y, c = 4y^2 \), ta có:

\[ b^2 - 4ac = (-20y)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4y^2 = 400y^2 - 144y^2 = 256y^2. \]

Do đó, phương trình có nghiệm là:

\[ x = \frac{20y \pm 16y}{18}. \]

Từ đây, ta tìm được hai nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{36y}{18} = 2y, \)
2. \( x_2 = \frac{4y}{18} = \frac{2y}{9}. \)

Theo điều kiện \( 2y < 3x < 0 \), ta sẽ kiểm tra từng nghiệm:

1. **Nghiệm \( x_1 = 2y \):**
\[
3x = 6y \quad \Rightarrow \quad 2y < 6y < 0 \quad \Rightarrow \quad y < 0.
\]

2. **Nghiệm \( x_2 = \frac{2y}{9} \):**
\[
3x = \frac{6y}{9} = \frac{2y}{3} \quad \Rightarrow \quad 2y < \frac{2y}{3} < 0 \quad \Rightarrow \quad y < 0.
\]

Vì vậy, cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện \( y < 0 \).

Tiếp theo, ta tính \( N = \frac{3x - 2y}{3x + 2y} \):

1. Với \( x = 2y: \)
\[
N = \frac{3(2y) - 2y}{3(2y) + 2y} = \frac{6y - 2y}{6y + 2y} = \frac{4y}{8y} = \frac{1}{2}.
\]

2. Với \( x = \frac{2y}{9}: \)
\[
N = \frac{3\left(\frac{2y}{9}\right) - 2y}{3\left(\frac{2y}{9}\right) + 2y} = \frac{\frac{6y}{9} - 2y}{\frac{6y}{9} + 2y} = \frac{\frac{6y - 18y}{9}}{\frac{6y + 18y}{9}} = \frac{-12y}{24y} = -\frac{1}{2}.
\]

Vì vậy, ta có hai giá trị cho \( N \):

- Nếu \( x = 2y \) thì \( N = \frac{1}{2} \).
- Nếu \( x = \frac{2y}{9} \) thì \( N = -\frac{1}{2} \).

Cuối cùng, các giá trị của \( N \) là:

\[
N \in \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}.
\]