Để tính giá trị của \( M = \frac{x - y}{x + y} \) trong điều kiện \( x + y \neq 0 \) và \( x^2 - 2y^2 - xy = 0 \), ta thực hiện các bước như sau:

Từ phương trình \( x^2 - 2y^2 - xy = 0 \), ta có thể biến đổi thành:
\[
x^2 - xy - 2y^2 = 0
\]
Đây là một phương trình bậc hai trong \( x \). Sử dụng công thức nghiệm, ta có:
\[
x = \frac{-(-y) \pm \sqrt{(-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2y^2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 8y^2}}{2} = \frac{y \pm 3y}{2}
\]
Vậy, các nghiệm của \( x \) là:
\[
x_1 = \frac{4y}{2} = 2y \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-2y}{2} = -y
\]

**Trường hợp 1: \( x = 2y \)**
\[
M = \frac{2y - y}{2y + y} = \frac{y}{3y} = \frac{1}{3}
\]

**Trường hợp 2: \( x = -y \)**
\[
M = \frac{-y - y}{-y + y} = \frac{-2y}{0}
\]
Điều này không xác định.

Với điều kiện \( x + y \neq 0 \), ta có thể kết luận:

Nếu \( x = 2y \) thì \( M = \frac{1}{3} \) là giá trị hợp lệ.

**Kết luận:** \( M = \frac{1}{3} \).