Để chứng minh rằng \( A = 7 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{120} \) chia hết cho 57, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số đầu tiên trong dãy,
- \( r \) là tỷ lệ chung,
- \( n \) là số hạng.

Ở đây, ta có:
- \( a = 7 \),
- \( r = 7 \),
- \( n = 120 \).

Do đó, tổng \( A \) được tính như sau:

\[
A = 7 \frac{7^{120} - 1}{7 - 1} = 7 \frac{7^{120} - 1}{6}.
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 57. Để vậy, trước hết ta kiểm tra \( 7^{120} - 1 \) chia hết cho 57.

Bây giờ chúng ta kiểm tra \( 7^{120} \mod 57 \). Để làm việc này, ta sẽ sử dụng Định lý Fermat. Định lý Fermat nói rằng nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Tuy nhiên, 57 không phải là số nguyên tố. Ta sẽ phân tích 57 thành tích của hai số nguyên tố:

\[
57 = 3 \times 19.
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra \( 7^{120} \mod 3 \) và \( 7^{120} \mod 19 \).

**Bước 1: Tính \( 7^{120} \mod 3 \)**

Vì \( 7 \equiv 1 \mod 3 \), ta có:

\[
7^{120} \equiv 1^{120} \equiv 1 \mod 3.
\]

Vậy:

\[
7^{120} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3.
\]

**Bước 2: Tính \( 7^{120} \mod 19 \)**

Theo Định lý Fermat, vì 19 là số nguyên tố:

\[
7^{18} \equiv 1 \mod 19.
\]

Ta có:

\[
120 \div 18 = 6 \quad \text{và dư} \quad 12,
\]

nên:

\[
7^{120} \equiv (7^{18})^6 \cdot 7^{12} \equiv 1^6 \cdot 7^{12} \equiv 7^{12} \mod 19.
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \( 7^{12} \mod 19 \). Đầu tiên, ta tính \( 7^2 \):

\[
7^2 = 49 \equiv 11 \mod 19.
\]

Tiếp theo tính \( 7^4 \):

\[
7^4 = (7^2)^2 \equiv 11^2 = 121 \equiv 7 \mod 19.
\]

Sau đó tính \( 7^8 \):

\[
7^8 = (7^4)^2 \equiv 7^2 \equiv 11 \mod 19.
\]

Cuối cùng, ta tính \( 7^{12} \):

\[
7^{12} = 7^8 \cdot 7^4 \equiv 11 \cdot 7 = 77 \equiv 1 \mod 19.
\]

Vậy:

\[
7^{120} \equiv 1 \mod 19.
\]

**Kết luận:**

Từ hai kết quả:

\[
7^{120} - 1 \equiv 0 \mod 3,
\]
\[
7^{120} - 1 \equiv 0 \mod 19.
\]

Suy ra:

\[
7^{120} - 1 \equiv 0 \mod 57.
\]

Cuối cùng, ta quay lại tìm giá trị của \( A \):

\[
A = 7 \frac{7^{120} - 1}{6}.
\]

Vì \( 7^{120} - 1 \equiv 0 \mod 57 \) và \( 6 \equiv 6 \mod 57 \), nên \( 7^{120} - 1 \) chia hết cho 57.

Vì \( 7 \) và \( 6 \) không có ước chung, do đó \( A \) cũng chia hết cho 57.

Kết luận: \( A \) chia hết cho 57.