Để thực hiện phép tính \( \frac{1}{2} \times \frac{6}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{7} + \frac{1}{8} \times \frac{6}{7} \), ta có thể nhóm các phần tử lại với nhau như sau:

\[
\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) \times \frac{6}{7}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tổng \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \).

Để thực hiện phép cộng này, ta cần quy đồng:

- Quy đồng các phân số về mẫu số chung là 8:
- \( \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \)
- \( \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \)
- \( \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)

Bây giờ, ta có:

\[
\frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 2 + 1}{8} = \frac{7}{8}
\]

Sau đó, ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\left(\frac{7}{8}\right) \times \frac{6}{7}
\]

Tiến hành nhân:

\[
= \frac{7 \times 6}{8 \times 7} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{3}{4}
\]