Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán:

### a)

Gọi \( D \) trên cạnh \( AC \) và \( E \) trên cạnh \( AB \) sao cho \( AD = AE \). Gọi \( K \) và \( L \) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng vuông góc với \( EC \) từ \( A \) và \( D \) cắt cạnh \( BC \).

Đầu tiên, ta đi tìm tọa độ của các điểm trong tam giác vuông \( ABC \). Gọi:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, a) \)

Vì \( D \) nằm trên \( AC \) nên: \( D(0, d) \) với \( d \in [0, a] \). Tương tự, \( E \) nằm trên \( AB \) nên: \( E(e, 0) \) với \( e \in [0, a] \).

Vì \( AD = AE \), ta có:

\[
AD = d, \quad AE = e \implies d = e
\]

Gọi điểm \( K \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( EC \) từ \( A \) với đoạn thẳng \( BC \). Tương tự, \( L \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( EC \) từ \( D \).

Đường thẳng \( EC \) qua \( E(e, 0) \) và \( C(0, a) \) có phương trình:

\[
y - 0 = \frac{a - 0}{0 - e} (x - e) \Rightarrow y = -\frac{a}{e}x + \frac{a e}{e}
\]

Công thức tổng quát cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng \( EC \) tại điểm \( A(0, 0) \) là:

\[
y = \frac{e}{a}x
\]

Điểm \( K \) nằm trên \( BC \) mà có phương trình:

\[
y + x = a
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
y = \frac{e}{a}x \\
y + x = a
\end{cases}
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai, ta có thể tìm ra tọa độ của \( K \). Tương tự, ta tìm ra tọa độ của \( L \) bằng cách làm tương tự.

Cuối cùng, để chứng minh \( BK = KL \), ta cần chứng minh rằng độ dài từ điểm \( B \) đến điểm \( K \) bằng độ dài từ điểm \( K \) đến điểm \( L \).

### b)

Một hình chữ nhật \( APMN \) có đỉnh \( P \) trên \( AB \), đỉnh \( N \) trên \( AC \) với chu vi cố định \( P = 2x + 2y \) (trong đó \( x \) là chiều dài và \( y \) là chiều rộng). Với \( P \) trên \( AB \) và \( N \) trên \( AC \), khi chu vi là một hằng số \( C \), ta có quan hệ:

\[
x + y = \frac{C}{2}
\]

Khi \( A \) chuyển động trên hai cạnh, điểm \( M \) tạo thành không gian màu xám trên đường chéo của hình chữ nhật sẽ di chuyển theo một họ đường thẳng.

### c)

Khi hình chữ nhật \( APMN \) di chuyển, ta cần chứng minh rằng khi kẻ đường vuông góc từ \( M \) xuống đường chéo \( PN \), thì đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định.

Điểm cố định này ta có thể tìm được bằng cách tính toán và đánh giá tọa độ của các điểm \( P \) và \( N \) theo các biến số \( x \) và \( y \) thay đổi tương ứng với hình chữ nhật trong khi vẫn giữ chu vi cố định. Khi đó, đường thẳng vuông góc từ \( M \) sẽ luôn cắt đường chéo tại điểm này.

### Kết luận

Phân tích trên cho thấy mối quan hệ giữa các điểm trong từng phần của bài toán là dựa trên các công thức geomatrix cơ bản. Mọi bằng chứng cần thực hiện có thể được thể hiện cụ thể qua các phương trình tọa độ.