Tính tổng m + n để hàm số y đồng biến trên (-∝; 2) nghịch biến trên (2; +∝) và đạt giá trị lớn nhất bằng 5

Để giải bài toán này, ta cần phân tích hàm số \(y = -2x^2 - 4mx + n - 1\).

1. **Điều kiện đồng biến và nghịch biến:**
- Hàm số bậc 2 có dạng \(y = ax^2 + bx + c\) với \(a < 0\) thì nó có cạnh (đỉnh) và sẽ đồng biến trên khoảng (-∞, x₀) và nghịch biến trên (x₀, +∞) với \(x₀\) là hoành độ đỉnh.
- Hoành độ đỉnh được tính bằng công thức \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Ở đây, \(a = -2\) và \(b = -4m\), nên:
\[
x_0 = -\frac{-4m}{2 \cdot -2} = \frac{4m}{4} = m
\]
- Vậy để hàm đồng biến trên (-∞, 2) và nghịch biến trên (2, +∞), ta cần \(m = 2\).

2. **Điều kiện đạt giá trị lớn nhất bằng 5:**
- Giá trị lớn nhất của hàm số tại \(x = m = 2\) là:
\[
y(2) = -2(2^2) - 4m(2) + n - 1
\]
\[
= -8 - 8m + n - 1
\]
\[
= -9 - 8m + n
\]
- Để tìm \(n\), ta đặt giá trị lớn nhất bằng 5:
\[
-9 - 8(2) + n = 5
\]
\[
-9 - 16 + n = 5
\]
\[
n - 25 = 5 \implies n = 30
\]

3. **Tính tổng \(m + n\):**
\[
m + n = 2 + 30 = 32.
\]

Vậy tổng \(m + n = 32\).