Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta thực hiện từng phần theo hệ thống.

**Cho ∆ABC vuông tại A:**
- Giả sử \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Tại \( A \), góc \( A = 90^\circ \).

### a) Chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle DBE \)

Ta sẽ sử dụng các tiêu chí để chứng minh hai tam giác này bằng nhau:
1. **Góc chung:** \( \angle ABE \) (cùng là góc tại điểm B).
2. **Đoạn thẳng:** \( AB = BD \) (theo đề bài \( BD = BA \)).
3. **Đoạn thẳng:** \( AE = DE \) (do \( BE \) là phân giác và \( E \) thuộc \( AC \)).

Do vậy, ta có \( \triangle ABE \cong \triangle DBE \) (theo tiêu chí góc-góc-đoạn).

### b) Chứng minh \( DE \perp BC \)

Vì \( \triangle ABE \cong \triangle DBE \), ta suy ra rằng:
- \( \angle ABE = \angle DBE \).

Từ đó, suy ra rằng \( DE \) là đường cao từ điểm E xuống cạnh BC trong tam giác \( ABE \) và \( DBE \), tức là \( DE \perp BC \).

### c) Chứng minh rằng \( F, E, D \) thẳng hàng

Gọi điểm F là điểm đối diện của điểm A trên đường thẳng AB sao cho \( AF = DC \).

Từ kết luận ở phần b), biết rằng các góc tại E và D là góc vuông:
- Khi đó, \( E \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng với hạ đường từ \( F \) xuống \( DE \).

Kết luận là \( F, E, D \) thẳng hàng trong cùng một mặt phẳng.

### Tổng kết
Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán dựa vào các tính chất của tam giác vuông và các tiêu chí đồng dạng hoặc bằng nhau của tam giác.