Để chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3, ta sử dụng nguyên lý Dirichlet và tính chất của số dư.

Mỗi số tự nhiên \( n \) khi chia cho 3 sẽ cho ra một trong ba số dư: 0, 1, hoặc 2. Do đó, mọi số tự nhiên có thể được phân loại theo số dư này:

- Số dư 0 (ký hiệu là \( a_0 \))
- Số dư 1 (ký hiệu là \( a_1 \))
- Số dư 2 (ký hiệu là \( a_2 \))

Khi có 5 số tự nhiên, theo nguyên lý Dirichlet, khi chia 5 số này vào 3 loại số dư (0, 1, 2), ít nhất một loại số dư sẽ có ít nhất 2 số (vì \( 5 > 3 \)).

Đối với từng trường hợp cụ thể:

1. **Trường hợp có ít nhất 3 số dư bằng 0**: Nếu có từ 3 số trở lên thuộc loại \( a_0 \), thì tổng của chúng chắc chắn chia hết cho 3.

2. **Trường hợp có ít nhất 3 số dư bằng 1**: Tương tự, nếu có từ 3 số trở lên thuộc loại \( a_1 \), thì tổng của chúng cũng chia hết cho 3 (vì \( 1 + 1 + 1 = 3 \)).

3. **Trường hợp có ít nhất 3 số dư bằng 2**: Tương tự, nếu có từ 3 số trở lên thuộc loại \( a_2 \), thì tổng của chúng cũng chia hết cho 3 (vì \( 2 + 2 + 2 = 6 \)).

4. **Trường hợp chỉ có 2 số dư 0**: Giả sử có 2 số dư bằng 0, và ta có ba số còn lại. Nếu 2 trong số đấy có số dư 1 và 1 số có số dư 2, hay ngược lại, chúng ta cũng vẫn có thể chọn 2 số dư 1 và 1 số dư 2 để tổng của chúng sẽ là \( 1 + 1 + 2 = 4 \) (không chia hết cho 3) nhưng chưa đủ.

Tuy nhiên, khi có 2 số dư 0, tối đa chỉ có 3 số dư khác nhau, vậy nên số dư của mọi khả năng vẫn sẽ cho chúng ta một bộ ba số với tổng chia hết cho 3 bởi vì số dao động giữa các số dư sẽ cho ra các sự kết hợp mà trong đó ít nhất một số sẽ tìm đến \( 0 \mod 3 \).

Tóm lại, từ 5 số tự nhiên, tồn tại ít nhất một trường hợp chúng ta có 2 cùng loại số dư và ít nhất một số khác từ mỗi nhóm số dư hoặc ba số từ cùng một loại.

Vậy ta đã chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.