Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và tính chất của các điểm trung bình trong mặt phẳng.

### Thông tin đã cho:
- Hình bình hành ABCD với \( BC = 2AB \) và góc \( A = 60^\circ \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( AB \).
- \( E \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- \( F \) là trung điểm của đoạn \( AD \).

### a) Tứ giác ABEF là hình gì?
Để xác định hình dạng của tứ giác \( ABEF \), chúng ta cần xem xét các điểm:

1. **Vì \( E \) là trung điểm của \( BC \) và \( F \) là trung điểm của \( AD \)**:
- Từ hình bình hành, \( AD \) song song với \( BC \), và \( AB \) song song với \( CD \). Do đó, \( AD \parallel BC \) và \( AE \parallel DF \).

2. **Tính chất về trung điểm**:
- Do \( E \) và \( F \) là trung điểm, ta có:
\[
AE = EB \quad \text{và} \quad AF = FD
\]

3. **Góc**:
- Trong hình bình hành, tính đối xứng sẽ tạo ra các góc tương ứng.
- Hơn nữa, do \( \angle A = 60^\circ \), ta có \( \angle B = 120^\circ \).

### Kết luận về tứ giác \( ABEF \):
Ta có \( AE = EB \), \( AF = FD \), và \( AE \parallel DF \). Những yếu tố này chứng tỏ rằng tứ giác \( ABEF \) là hình thoi, vì nó có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, lại có một góc trong là \( 60^\circ \).

### b) Tính diện tích \( AED \)
**Diện tích của tam giác \( AED \)**:
Để tính diện tích tam giác \( AED \), ta cần chiều dài các cạnh và độ cao từ \( A \) xuống đoạn \( DE \).

1. **Độ dài cạnh**:
- Gọi \( AB = x \) thì \( BC = 2x \) (theo đề bài).
- Từ \( \triangle ABE \), ta có \( E \) là trung điểm của \( BC \) nên:
\[
BE = \frac{BC}{2} = \frac{2x}{2} = x
\]

2. **Độ cao từ \( A \) đến \( DE \)**:
- Để tính diện tích tam giác, chúng ta cần căn cứ vào độ cao. Ta đã xác định được rằng góc \( A = 60^\circ \).

3. **Công thức tính diện tích**:
Diện tích \( S \) của tam giác có thể tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(A)
\]
- Ở đây, \( AB = x \), \( AD = 2x \), \( A = 60^\circ \):
\[
S = \frac{1}{2} \times x \times (2x) \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 2x^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{2}
\]

Cuối cùng, diện tích \( AED \) sẽ là:
\[
S_{AED} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{2}
\]

### Kết luận
- \( ABEF \) là hình thoi.
- Diện tích \( AED = \frac{x^2 \sqrt{3}}{2} \).

Nếu bạn có kích thước cụ thể cho \( AB \), bạn có thể thay thế vào công thức này để tính diện tích cụ thể.