Tính giá trị của biểu thức A biết \( x = 25 \). Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) biết \( x = 25 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}
\]

Thay \( x = 25 \):
\[
\sqrt{x} = \sqrt{25} = 5
\]
Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{5 + 2}{5 - 1} = \frac{7}{4}
\]

### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]
và
\[
B = \frac{2\sqrt{x} + 4}{1 - x} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1}
\]

Đầu tiên, ta sẽ tính lại \( B \) theo các biểu thức này để chứng minh.

Thay \( x = 25 \) vào biểu thức ban đầu:
\[
B = \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \( B \) theo phương án khác:
1. Tính \( \frac{2\sqrt{25} + 4}{1 - 25} + \frac{4}{\sqrt{25} - 1} \):
- \( 1 - 25 = -24 \)
- \( 2\sqrt{25} + 4 = 2 \cdot 5 + 4 = 10 + 4 = 14 \)
- Vậy \( \frac{14}{-24} = -\frac{7}{12} \)

2. Tính \( \frac{4}{\sqrt{25} - 1} = \frac{4}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1 \)

Kết quả là:
\[
B = -\frac{7}{12} + 1 = -\frac{7}{12} + \frac{12}{12} = \frac{5}{12}
\]

Chứng minh này không phù hợp. Chúng ta cần phải kiểm tra lại cách lựa chọn phương pháp chứng minh.

### c) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( Q = \frac{B}{A} \) nhận giá trị nguyên

Với \( A = \frac{7}{4} \) và \( B = \frac{5}{6} \):
\[
Q = \frac{B}{A} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{7}{4}} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}
\]

Để \( Q \) nhận giá trị nguyên, cần có \( 10 \) chia hết cho \( 21 \), điều này không xảy ra.

### Kết luận
- Ta đã tính được \( A = \frac{7}{4} \).
- Chứng minh \( B \) cần phải xem xét lại và không được đúng trong ví dụ.
- Giá trị của \( Q \) tính được, nhưng không phải là nguyên.

Với các phần này ta cũng có thể tiếp tục làm chính xác và đi sâu hơn để tìm ra các giá trị cần thiết.