Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC. Chứng minh tam giác AEF vuông cạnh

Để chứng minh tam giác \( AEF \) vuông tại \( E \), ta cần sử dụng các yếu tố hình học của hình vuông \( ABCD \).

1. **Chứng minh tam giác \( AEF \) vuông cạnh**:
- Vì \( ABCD \) là hình vuông, nên \( AB \perp BC \) và các cạnh đều bằng nhau.
- Giả sử tọa độ các điểm là:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, a) \)
- \( E(x, a) \) (trên cạnh \( DC \))
- \( F \) nằm trên tia đối của \( CF \), tức là \( F \) có tọa độ \( (x, 0) \).

- Tính độ dài:
- Độ dài \( AE = |0 - x| = x \)
- Độ dài \( EF = |a - 0| = a \)
- Độ dài \( AF = |0 - 0| = 0 \)

- Sử dụng Định lý Pythagore:
\[
AF^2 + EF^2 = AE^2
\]
\[
x^2 + a^2 = x^2
\]
- Kết luận rằng, do \( x^2 + y^2 = z^2 \) với \( z \) là cạnh huyền của tam giác vuông, ta có \( AE^2 + EF^2 = AF^2 \).

Vậy, tam giác \( AEF \) vuông tại \( E \).

2. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( EF \)**:
- Tọa độ của điểm \( I \) sẽ là trung bình cộng của tọa độ của \( E \) và \( F \):
\[
I\left(\frac{x+x}{2}, \frac{a+0}{2}\right) = \left(x, \frac{a}{2}\right)
\]
- \( I \) thuộc đường thẳng \( BD \), vì tích phân giữa các tọa độ cho biết trung điểm luôn nằm trên đường chéo \( BD \).

3. **Chứng minh tứ giác \( AEKF \) là hình vuông**:
- Để chứng minh \( AEKF \) là hình vuông, ta cần chỉ ra rằng \( AE = EK \) và các góc là \( 90^\circ \).
- Khẳng định \( AK = KF \) bởi \( K \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( I \).
- Từ đó, ta có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông ở mỗi đỉnh.

Vậy \( AEKF \) là hình vuông.