Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh ∆AMB cân tại M.

Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A cân tại M, ta sẽ sử dụng định nghĩa trung điểm và tính chất của tam giác vuông.

1. Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
2. Ta có:
- ΔAMB có AM là cạnh chung.
- Áo AB vuông góc với AC, có nghĩa là: góc AMB = góc AMC (cùng là góc vuông).
3. Do đó, từ tính chất tam giác, ta có: BM = MC và AM là cạnh chung, suy ra ΔAMB cân tại M.

### b) Chứng minh DE = 1/2 * BC.

Để chứng minh, ta có thể áp dụng định lý Pythagore hoặc tính toán với các độ dài.

1. Gọi BC = a, có AM = 1/2 * a (do M là trung điểm BC).
2. D vì MD ⊥ AB; E vì ME ⊥ AC, ta có DE là đường cao của ΔAME.
3. Sử dụng tính chất của tam giác vuông, ΔAMBE, ta có:
- DE = 1/2 * BC (đặt theo tỉ lệ độ dài: tính chất của đường cao trong tam giác vuông).

### c) Chứng minh tứ giác BDEM là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác BDEM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. MD || BE (do cả hai đều vuông góc với AB).
2. BM = EM và DE = BM.
3. Do đó, tứ giác BDEM có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, nên tứ giác này là hình bình hành.

### d) Gọi P, Q là trung điểm BM và MC. Chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.

1. P là trung điểm của BM và Q là trung điểm của MC.
2. Ta có: BP = PM và MQ = QC.
3. DE là đường thẳng song song với PQ (vì DE || PQ từ đặc điểm hình bình hành BDEM).
4. Khi đó, tứ giác DPQE có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, vì thế DPQE là hình bình hành.

Hy vọng phần phân tích này giúp bạn hiểu rõ các chứng minh trong bài toán!