Để giải bài toán này, ta đặt số máy cày của đội thứ nhất là \( x \), đội thứ hai là \( y \) và đội thứ ba là \( z \).

Ta có các điều kiện sau:

1. Tổng số máy cày của ba đội là 37:
\[
x + y + z = 37
\]

2. Thời gian cày của các đội khác nhau, nhưng diện tích cày là như nhau và năng suất máy cày là như nhau. Gọi \( A \) là diện tích cày của mỗi đội. Ta có thể viết ra các phương trình liên quan đến công việc mà mỗi đội thực hiện:

- Đội thứ nhất: Với \( x \) máy cày, cày trong 5 ngày:
\[
5x = A
\]

- Đội thứ hai: Với \( y \) máy cày, cày trong 4 ngày:
\[
4y = A
\]

- Đội thứ ba: Với \( z \) máy cày, cày trong 6 ngày:
\[
6z = A
\]

Từ các phương trình \( 5x = A \), \( 4y = A \), và \( 6z = A \), ta có thể đặt \( A \) thành một giá trị chung. Chúng ta có thể sử dụng \( A = 5x \), từ đó ta cũng có thể biểu diễn \( y \) và \( z \) theo \( x \):

1. Từ \( 4y = 5x \) ⇒ \( y = \frac{5x}{4} \)
2. Từ \( 6z = 5x \) ⇒ \( z = \frac{5x}{6} \)

Bây giờ, thay \( y \) và \( z \) vào phương trình tổng số máy:
\[
x + \frac{5x}{4} + \frac{5x}{6} = 37
\]

Để tiện tính toán, ta quy đồng mẫu số. Mẫu số nhỏ nhất của 4 và 6 là 12:
\[
\frac{5x}{4} = \frac{15x}{12}, \quad \frac{5x}{6} = \frac{10x}{12}
\]

Phương trình trở thành:
\[
x + \frac{15x}{12} + \frac{10x}{12} = 37
\]
\[
x + \frac{25x}{12} = 37
\]
\[
\frac{12x + 25x}{12} = 37
\]
\[
\frac{37x}{12} = 37
\]

Nhân cả hai vế với 12:
\[
37x = 444
\]
\[
x = \frac{444}{37} = 12
\]

Thay \( x = 12 \) vào các phương trình để tìm \( y \) và \( z \):
\[
y = \frac{5 \cdot 12}{4} = 15
\]
\[
z = \frac{5 \cdot 12}{6} = 10
\]

Kết quả là:
- Đội thứ nhất có 12 máy cày,
- Đội thứ hai có 15 máy cày,
- Đội thứ ba có 10 máy cày.

Như vậy, số máy cày của mỗi đội là:
- Đội thứ nhất: 12 máy
- Đội thứ hai: 15 máy
- Đội thứ ba: 10 máy