Một học định về các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bản trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để về một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng

Để giải bài toán tối ưu hóa lợi nhuận từ việc vẽ thiệp, chúng ta có thể thiết lập mô hình như sau:

**Giả thiết:**
- Gọi \( x \) là số tấm thiệp loại nhỏ.
- Gọi \( y \) là số tấm thiệp loại lớn.

**Dữ liệu:**
- Thời gian để vẽ 1 tấm thiệp loại nhỏ: 2 giờ.
- Thời gian để vẽ 1 tấm thiệp loại lớn: 3 giờ.
- Giá bán 1 tấm thiệp loại nhỏ: 10 nghìn đồng.
- Giá bán 1 tấm thiệp loại lớn: 20 nghìn đồng.
- Tổng thời gian có: 30 giờ.
- Phải vẽ ít nhất 12 tấm.

**Mô hình:**
1. **Chỉ tiêu tối ưu:** Lợi nhuận \( Z = 10x + 20y \).
2. **Ràng buộc:**
- Thời gian: \( 2x + 3y \leq 30 \)
- Tổng số thiệp: \( x + y \geq 12 \)
- \( x \geq 0 \)
- \( y \geq 0 \)

**Giải bài toán:**

1. **Ràng buộc 1:** \( 2x + 3y \leq 30 \)
2. **Ràng buộc 2:** \( x + y \geq 12 \)

Ta sẽ vẽ đồ thị các ràng buộc để tìm vùng khả thi.

**Phân tích ràng buộc:**

- **Ràng buộc 1:** Giải phương trình \( 2x + 3y = 30 \):
- Khi \( x = 0 \) thì \( y = 10 \).
- Khi \( y = 0 \) thì \( x = 15 \).

Do đó, điểm trên đường biệt lập là \( (0, 10) \) và \( (15, 0) \).

- **Ràng buộc 2:** Giải phương trình \( x + y = 12 \):
- Khi \( x = 0 \) thì \( y = 12 \).
- Khi \( y = 0 \) thì \( x = 12 \).

Do đó, điểm trên đường biệt lập là \( (0, 12) \) và \( (12, 0) \).

**Xác định các điểm giao nhau:**

Giải hệ phương trình:
1. \( 2x + 3y = 30 \)
2. \( x + y = 12 \)

Từ phương trình 2, ta có \( y = 12 - x \). Thay vào phương trình 1:

\[
2x + 3(12 - x) = 30 \\
2x + 36 - 3x = 30 \\
-x + 36 = 30 \\
-x = -6 \\
x = 6
\]

Thay \( x = 6 \) vào phương trình 2:

\[
6 + y = 12 \\
y = 6
\]

Vậy chúng ta có điểm giao nhau \( (6, 6) \).

**Xác định các đỉnh của vùng khả thi:**
1. Điểm \( (0, 12) \) từ ràng buộc 2.
2. Điểm \( (0, 10) \) từ ràng buộc 1.
3. Điểm \( (6, 6) \) từ giao điểm 2 ràng buộc.
4. Điểm \( (12, 0) \) từ ràng buộc 2.

**Tính giá trị lợi nhuận tại các cực trị:**
1. Tại \( (0, 12) \):
\[
Z = 10(0) + 20(12) = 240 \text{ nghìn đồng}
\]
2. Tại \( (0, 10) \):
\[
Z = 10(0) + 20(10) = 200 \text{ nghìn đồng}
\]
3. Tại \( (6, 6) \):
\[
Z = 10(6) + 20(6) = 60 + 120 = 180 \text{ nghìn đồng}
\]
4. Tại \( (12, 0) \):
\[
Z = 10(12) + 20(0) = 120 \text{ nghìn đồng}
\]

**Kết luận:**
Lợi nhuận cao nhất mà học sinh đó thu được là **240 nghìn đồng** tại \( (0, 12) \).