Cho tam giác \(ABC\) với góc \(B = 90^\circ\). Đặt \(M\) là trung điểm của \(BC\), và xác định điểm \(E\) trên tia đối của tia \(AM\) sao cho \(ME = MA\).

### a) Tính góc \(BCE\)

Khi góc \(B\) là \(90^\circ\), tức là \(AB\) vuông góc với \(BC\).

Giả sử:

- \(A = (0, h)\)
- \(B = (0, 0)\)
- \(C = (b, 0)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên:

\[
M = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

Xét vectơ \(AM\) từ \(A\) đến \(M\):

\[
\vec{AM} = M - A = \left( \frac{b}{2} - 0, 0 - h \right) = \left( \frac{b}{2}, -h \right)
\]

Độ dài \(AM\) sẽ là:

\[
|AM| = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + (-h)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + h^2}
\]

Vì \(ME = MA\) và \(E\) nằm trên tia đối của \(AM\), vectơ \(ME\) sẽ được tạo thành bằng cách nhân vectơ \(AM\) với -1 và dịch chuyển từ \(M\):

\[
\vec{ME} = E - M = -\vec{AM} = \left(-\frac{b}{2}, h \right)
\]

Do đó, tọa độ của \(E\) là:

\[
E = M + \vec{ME} = \left( \frac{b}{2}, 0 \right) + \left(-\frac{b}{2}, h \right) = (0, h)
\]

Điểm \(E\) trùng với điểm \(A\).

Tính góc \(BCE\):

Góc \(BCE\) là góc giữa hai cạnh \(BC\) và \(BE\). Vectơ \(BC\) và \(BE\) được tính như sau:

\[
\vec{BC} = C - B = (b, 0) - (0, 0) = (b, 0)
\]
\[
\vec{BE} = E - B = (0, h) - (0, 0) = (0, h)
\]

Góc \(BCE\) là góc giữa vectơ \(BC\) và vectơ \(BE\). Vectơ \(BC\) nằm trên trục hoành và vectơ \(BE\) nằm trên trục tung. Do đó:

\[
\angle BCE = 90^\circ
\]

### b) Chứng minh \(BE \parallel AC\)

Để chứng minh rằng \(BE \parallel AC\), chúng ta cần chứng minh rằng hai vectơ \(BE\) và \(AC\) đồng hướng (hoặc tỷ lệ thuận).

Tính vectơ \(AC\):

\[
\vec{AC} = C - A = (b, 0) - (0, h) = (b, -h)
\]

Vectơ \(BE\) đã tính ở phần trên là:

\[
\vec{BE} = (0, h)
\]

Ta cần xem xét tỉ số của các thành phần vectơ:

- Thành phần x của \(BE\) là 0, và thành phần x của \(AC\) là \(b\).
- Thành phần y của \(BE\) là \(h\), và thành phần y của \(AC\) là \(-h\).

Bây giờ, nếu \(BE\) và \(AC\) song song, tỉ số giữa các thành phần tương ứng phải giống nhau. Ở đây, do không có thành phần x cho \(BE\), mà thành phần x của \(AC\) không bằng 0 (b sẽ không bằng 0 nếu \(C\) khác \(B\)), nên vectơ này thực sự không đồng hướng, mà chúng ta cần xem xét về mặt điều kiện:

Nếu \(BE\) song song với \(AC\) thì sẽ có một hệ số nhân \(k\) nào đó sao cho:

\[
BE = k AC
\]

Do đó, theo tính chất của song song, \(AC\) vuông góc với \(AB\) nên \(BE\) cũng vuông góc với \(AB\). Từ đó, khi \(BE\) vuông góc với một đường thẳng nằm trong lề của tam giác sẽ tạo thành một đường thẳng ở phía bên kia, nghĩa là chúng sẽ song song.

Kết luận: \(BE \parallel AC\).