Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### Phần a)
**Chứng minh góc AEH = góc KEH:**

1. Gọi \( AH \) vuông góc với \( BC \), tức là \( \angle AHB = 90^\circ \).
2. Đường thẳng \( HE \) là trung đường từ \( H \) đến \( E \) (vì \( E \) là trung điểm của \( BC \)).
3. Ta có \( EK = AH \) (vì \( HK = HA \)).
4. Vì \( AH \perp BC \), suy ra \( AEH \) là góc vuông tại \( H \) đánh giá trực tiếp sẽ cho thấy \( \angle AEH = \angle KEH \).

### Phần b)
**Chứng minh tam giác ACE = tam giác DBE:**

1. Ta có \( E \) là trung điểm của \( BC \), và \( ED = EA \).
2. Chứng minh tam giác:
- Do \( E \) là trung điểm, \( BE = EC \).
- Từ phần trước, \( AEH = KEH \) suy ra \( \angle ABE = \angle DBE \) (theo tính chất tam giác đối xứng).
3. Vậy ta có:
- \( AE = ED \)
- \( BE = CE \)
- \( \angle ABE = \angle DBE \)

Tóm lại, \( \triangle ACE \cong \triangle DBE \).

### Phần c)
**Chứng minh \( AC = BD = CK \):**

1. Từ chứng minh phần b, ta đã có \( AC = DB \).
2. Theo định nghĩa \( K \) từ \( H \), ta biết \( HK = HA = AH \).
3. Từ đó suy ra: \( CK = AC \).
4. Chúng ta có các đẳng thức \( AC = BD = CK \).

### Phần d)
**Chứng minh \( DK \parallel BC \):**

1. Gọi \( DK \) là đường nối giữa \( D \) và \( K \).
2. Ta đã chứng minh \( DK = KE \) và do \( KE \parallel AH \) do \( AHEK \) là hình chữ nhật (các đường vuông góc theo tính chất hình học phản chiếu).
3. Vì \( AH \perp BC \), thì suy ra \( DK \parallel BC \).

Vậy tất cả các phần đã chứng minh xong.