Cho △ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD. BM cắt AC tại E, CM cắt AB tại F. Lấy điểm N trên tia đối của tia DM sao cho DN = DM. Chứng minh EF // BC

Để chứng minh EF // BC trong tam giác \( \triangle ABC \) với các điểm như đã mô tả, ta có thể sử dụng định lý Thales về tỷ lệ đoạn thẳng.

Bắt đầu ta có:

- Gọi \( D \) là trung điểm của đoạn cạnh \( BC \).
- \( M \) là một điểm nằm trên đoạn \( AD \), với \( AD \) là đường trung tuyến.

Ta có các đoạn như sau:
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( BM \) với cạnh \( AC \).
- \( F \) là giao điểm của đường thẳng \( CM \) với cạnh \( AB \).
- \( N \) là điểm trên tia đối của tia \( DM \) sao cho \( DN = DM \).

Để chứng minh \( EF // BC \), ta sẽ xem xét hai tam giác \( \triangle DBF \) và \( \triangle DEM \).

1. **Tỷ lệ đoạn thẳng**:
Với điểm \( D \) là trung điểm của cạnh \( BC \), ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = 1.
\]

2. **Tỷ lệ trong các tam giác**:
Xét tam giác \( \triangle DMC \) và điểm \( M \) nằm trên \( AD \). Khi nối \( B \) và \( C \) với \( E \) và \( F \), chúng ta xem xét tỷ lệ:
- \( \frac{EF}{BC} = \frac{DE}{DC} \).

3. **Sử dụng hình chiếu**:
Xét hình chiếu vuông góc của điểm \( M \) trên đường thẳng \( BC \). Sử dụng tính chất đồng dạng của các tam giác tạo thành từ các đường cao, chúng ta sẽ thấy rằng các đoạn thẳng sẽ có tỷ lệ tương ứng.

4. **Kết luận**:
Dựa vào những tỷ lệ trên, theo định lý Thales, ta suy ra rằng \( EF \) song song với \( BC \):

\[
EF // BC.
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( EF \) song song với \( BC \).