Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > AD), gọi M là trung điểm AB. Từ M kẻ MN vuông góc với CD tại N 

Để chứng minh các tính chất hình học trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu.

### 1. Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật

Ta có các điểm:

- M là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó \(AM = MB\).
- Từ M, vẽ MN vuông góc với CD tại N.

Bởi vì CD và AB là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật ABCD, nên CD // AB. Do M nằm trên AB mà MN vuông góc với CD nên MN cũng vuông góc với AB.

Điều đó có nghĩa là:

- AM // ND (do AM và ND đều // CD),
- AN // MD (cũng do AN và MD đều // AB).

Vì AM vuông góc với MN tại M và ND vuông góc với MN tại N, nó chứng tỏ rằng AMND là hình chữ nhật.

### 2. Chứng minh tứ giác ABDK là hình bình hành và tam giác AKC cân

- Đặt DK = DM. Do m là trung điểm của DK nên m = K.
- Xét tứ giác ABDK, ta có:
- AD = AB (cành của hình chữ nhật),
- DK = DM = m.

Do đó, AB // DK và AD // BK theo nguyên lý của hình bình hành. Vậy tứ giác ABDK là hình bình hành.

Đối với tam giác AKC:

- Ta có AK = KC (vì m là trung điểm DK), và AC là cạnh chung.
- Do đó, AKC là tam giác cân với đáy AC.

### 3. Chứng minh EF // BD

- Xét i là trung điểm AK.
- Góc AIM là góc mà phân giác cắt AM tại E.
- Góc KIM là góc mà phân giác cắt MK tại F.

Theo định lý phân giác, ta có:

- Tia AE chia góc AIM thành hai góc bằng nhau (tương ứng với ba điểm A, I, M).
- Tia KF chia góc KIM thành hai góc bằng nhau (tương ứng với ba điểm K, I, M).

Xét:

- EF là đường thẳng chứa E và F.
- BD là đường chéo của hình bình hành ABDK và nó cũng là đường thẳng đi qua hai điểm B và D.

Khi đó, do AM // ND và khi tính toán góc, ta có:

\[
\angle AIM = \angle KIM \implies EF // BD
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán.

Câu hỏi cuối cùng về việc tên "elynn" không liên quan đến phần chứng minh hình học, nhưng nếu bạn cần thêm thông tin hay giải thích về tên này, hãy cho tôi biết nhé!