Cho tam giác MNJ vuông tại M.Gọi D và E lần lượt là trung điểm của MJ và MN.Trên tia đối của tia DN lấy K sao cho DK = DN. Chứng minh

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác MND = tam giác JDK

**Giả thiết:**
1. \( \triangle MNJ \) vuông tại \( M \).
2. \( D \) là trung điểm của \( MJ \).
3. \( E \) là trung điểm của \( MN \).
4. Trên tia đối của tia \( DN \), lấy \( K \) sao cho \( DK = DN \).

**Chứng minh:**
- Ta có \( D \) là trung điểm của \( MJ \) nghĩa là \( MD = DJ \).
- \( DN = DK \) nghĩa là hai đoạn thẳng này bằng nhau.
- Từ \( DN = DK \) và \( D \) là trung điểm của \( MJ \), ta cũng có:
\[
\angle NMD = \angle KJD = 90^\circ \quad (\text{do tam giác } MNJ \text{ vuông tại } M)
\]
- Do đó, ta có \( MD = DJ \), \( DN = DK \) và \( \angle NMD = \angle KJD \).

Từ đó, theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (LHS), ta suy luận được:
\[
\triangle MND \cong \triangle JDK
\]

### b) Chứng minh JK vuông góc với MJ

**Chứng minh:**
- Do \( DK = DN \) và \( DN \) vuông góc với \( MD \), suy ra \( K \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( D \) thông qua \( N \).
- Khi đó, từ \( N \) qua \( D \) kéo dài đến \( K \), tức là ta có một đường thẳng đi qua \( D \) vuông góc với \( MJ \).
- Với \( J \) nằm trên đường thẳng \( MJ \), suy ra \( JK \) vuông góc với \( MJ \).

### c) Chứng minh \( M \) là trung điểm \( FK \)

**Giả thiết:**
1. Trên tia đối của tia \( EJ \) lấy \( F \) sao cho \( EF = EJ \).

**Chứng minh:**
- Ta có \( E \) là trung điểm của \( MN \) và \( EF = EJ \).
- Do \( EA = EJ \), suy ra \( E \) của đường thẳng từ \( J \) đến \( F \) là đối xứng nhau qua \( E \).

- Ta cũng có \( D \) là trung điểm của \( MJ \), và \( K \) là có độ dài bằng \( D \) và ở vị trí đối xứng so với \( M \) và \( F \). Điều này kéo theo rằng:
\[
MF = MK \quad (\text{vì } DK = DN)
\]

Như vậy, \( M \) là trung điểm của \( FK \) vì \( MF = MK\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán theo đúng yêu cầu.