Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác ABC có AB = AC và M là trung điểm của BC, chúng ta lần lượt thực hiện các mục a, b, c, và d như sau:

### a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

Ta có:
- AB = AC (điều kiện đã cho).
- M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Vì tam giác ABM và ACM có chung cạnh AM.

Từ đó, ta có:
- ABM ≅ ACM (theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh, C-C-C).

### b) Chứng minh AM vuông góc với BC.

Xét hai tam giác ABM và ACM đã chứng minh bằng nhau. Do đó, các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau:
- \(\angle ABM = \angle ACM\)

Vì AB = AC nên ta có:
- \(\angle ABM = \angle ACM\)

Do đó:
\(\angle A = \angle ABM + \angle ACM = 2 \cdot \angle ABM\).

Từ đó, nếu \(\angle A = 90^\circ\), thì các góc ABM và ACM đều bằng 45 độ. Nhưng điều này cũng có thể được thấy rõ hơn qua tính đối xứng của tam giác đều.

Do đó, ta có thể kết luận rằng AM vuông góc với BC.

### c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.

Từ phần b), ta biết rằng AM vuông góc với BC và M là trung điểm của BC. Khi M là trung điểm, ta cũng có:
- Các góc ABM và ACM bằng nhau.

Mà AM vuông góc với BC, cho thấy AM chia đều góc A thành hai góc bằng nhau. Từ đó, ta có:
- AM là phân giác của góc A.

### d) Chứng minh A, B, F thẳng hàng.

Gọi điểm I là trung điểm của AM. M là trung điểm của BC.

Tia IM cắt ac tại E, nên theo định nghĩa, ME = MF. Trong tam giác ABM và ACM, ta đã chứng minh rằng A, B, M thuộc cùng một đường thẳng. Do đó, nếu kéo dài mặt phẳng ra, điểm F, là điểm nằm trên đường thẳng tương ứng với BI và dọc phần mở rộng của đoạn dây, dẫn đến kết luận rằng A, B, F thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rất rõ ràng các yêu cầu mà đề bài đặt ra.