Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, trước tiên, chúng ta thực hiện vẽ hình để dễ dàng hình dung.

### Hình vẽ:
1. Vẽ tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \).
2. Vẽ phân giác \( AD \) của góc \( \angle BAC \), và điểm \( D \) nằm trên cạnh \( BC \).
3. Chọn điểm \( M \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( AM = AB \).

### Các bước chứng minh:

**a. Chứng minh \( \triangle ABD = \triangle AMD \)**

Trong tam giác \( ABD \) và tam giác \( AMD \), ta có:
- \( AB = AM \) (do giả thiết)
- \( AD = AD \) (đường phân giác chung)
- \( \angle ADB = \angle ADM \) (vì \( AD \) là đường phân giác, \( D \) nằm trên cạnh \( BC \))

Vậy theo tiêu chuẩn \( SSS \) (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:
\[ \triangle ABD \cong \triangle AMD \]

**b. Chứng minh \( \triangle BDM \) cân tại \( D \)**

Từ chứng minh ở phần (a), chúng ta đã biết:
- \( AD = AD \) (đường phân giác chung)
- \( AB = AM \) (do giả thiết)

Mặt khác, vì \( \triangle ABD \cong \triangle AMD \) nên:
- \( BD = DM \)

Vì vậy, ta có \( BD = DM \), suy ra tam giác \( BDM \) cân tại \( D \).

**c. Chứng minh \( AD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BM \)**

Từ phần (b), chúng ta đã thấy rằng \( \triangle BDM \) là tam giác cân tại \( D \), có nghĩa là \( BD = DM \).

Vì \( AD \) là phân giác của góc \( \angle BAC \) và \( BD = DM \), điều này kéo theo rằng \( AD \) không chỉ là đường phân giác mà còn là đường trung trực của \( BM \).

Từ đó, ta có \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BM \).

### Kết luận:
Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán:

1. \( \triangle ABD \cong \triangle AMD \)
2. \( \triangle BDM \) cân tại \( D \)
3. \( AD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BM \)

Hy vọng phần giải thích này sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài toán!