Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x(y - 7) + 3y = 31
\]

ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

1. Nhóm các thành phần lại:
\[
x(y - 7) = 31 - 3y
\]
2. Chia hai vế cho \( y - 7 \) (trong điều kiện \( y \neq 7 \)):
\[
x = \frac{31 - 3y}{y - 7}
\]

Bây giờ, để \( x \) là số nguyên, \( 31 - 3y \) phải chia hết cho \( y - 7 \). Đặt \( k = y - 7 \), khi đó \( y = k + 7 \). Thay vào phương trình trên:

\[
x = \frac{31 - 3(k + 7)}{k} = \frac{31 - 3k - 21}{k} = \frac{10 - 3k}{k} = \frac{10}{k} - 3
\]

Để \( x \) là số nguyên, \( \frac{10}{k} \) phải là một số nguyên, tức là \( k \) phải là một trong các ước của 10: \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).

Ta kiểm tra từng giá trị của \( k \):

1. \( k = 1 \): \( y = 8 \) ⇒ \( x = 10 - 3 = 7 \)
2. \( k = -1 \): \( y = 6 \) ⇒ \( x = -10 - 3 = -13 \)
3. \( k = 2 \): \( y = 9 \) ⇒ \( x = 5 - 3 = 2 \)
4. \( k = -2 \): \( y = 5 \) ⇒ \( x = 5 + 3 = 8 \)
5. \( k = 5 \): \( y = 12 \) ⇒ \( x = 2 - 3 = -1 \)
6. \( k = -5 \): \( y = 2 \) ⇒ \( x = 10 + 3 = 13 \)
7. \( k = 10 \): \( y = 17 \) ⇒ \( x = 1 - 3 = -2 \)
8. \( k = -10 \): \( y = -3 \) ⇒ \( x = 0 - 3 = -3 \)

Tổng hợp lại, ta có các cặp \((x, y)\):

1. \((7, 8)\)
2. \((-13, 6)\)
3. \((2, 9)\)
4. \((8, 5)\)
5. \((-1, 12)\)
6. \((13, 2)\)
7. \((-2, 17)\)
8. \((-3, -3)\)

Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:

\[
(7, 8), (-13, 6), (2, 9), (8, 5), (-1, 12), (13, 2), (-2, 17), (-3, -3).
\]